Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{CAO}=\widehat{CDO}=90^o$

$\to C, A, O, D\in$ đường tròn đường kính $OC$

b.Vì $CA, CD$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OC\perp AD=H$ là trung điểm $AD$

$\to AD=2AH$

Ta có: $AC=AB=2R, OC=\sqrt{AO^2+OC^2}=R\sqrt5$

$\to AH.CO=AC.AO\to AH=\dfrac{AC.AO}{OC}=\dfrac{2R^2}{R\sqrt5}=\dfrac{2R}{\sqrt5}$

$\to AD=2AH=\dfrac{4R}{\sqrt5}$

c.Vì $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{AMB}=90^o$

Gọi $CO\cap AM=E$

$\to \widehat{CME}=\widehat{CHN}(=90^o)$

$\to \Delta CME\sim\Delta CHN(g.g)$

$\to \dfrac{CM}{CH}=\dfrac{CE}{CN}$
$\to CM.CN=CE.CH$

Ta có: $\widehat{EAC}=\widehat{MAC}=\widehat{MBA}=\widehat{NBA}$

            $AC=AB, \widehat{ECA}=\widehat{HCA}=90^o-\widehat{DAC}=\widehat{NAB}$

$\to \Delta ECA=\Delta NAB(g.c.g)$

$\to CE=AN$

$\to CE.CH=CH.NA$

$\to CM.CN=CH.NA$

d.Ta có: $\Delta CAB$ vuông tại $A, AM\perp CB$

$\to CM.CB=CA^2$

Tương tự: $CH.CO=CA^2$

$\to CM.CB=CH.CO$

$\to \dfrac{CM}{CH}=\dfrac{CO}{CB}$

$\to \Delta CMH\sim\Delta COB(c.g.c)$

$\to \widehat{CHM}=\widehat{CBO}=\widehat{OBM}$

$\to OHMB$ nội tiếp

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A, AB=AC=2R$

$\to \Delta ABC$ vuông cân tại $A$

Mà $AM\perp BC$

$\to\widehat{MAB}=\dfrac12\widehat{BAC}=45^o$

Ta có: $\widehat{MOB}=2\widehat{MAB}=90^o$ 

$\to MB$ là đường kính của $(MHB)$

Gọi $F$ là trung điểm $MB$

$\to F$ là tâm $(MHB)$

Ta có:

$FM=FB=\dfrac12MB=\dfrac12\cdot R\sqrt2=\dfrac{R\sqrt2}2$

Diện tích hình viên phân $MDB$ của $(O)$ là:

$$\dfrac{90}{360}\cdot \pi\cdot R^2-\dfrac12R^2=\dfrac{\pi R^2}{4}-\dfrac{R^2}{2}$$

Diện tích phần hình tròn $(MHB)$ nằm ngoài $(O)$ là:

$$\dfrac12\cdot (\dfrac{R\sqrt2}2)^2\pi - (\dfrac{\pi R^2}{4}-\dfrac{R^2}{2})=\dfrac{R^2}2$$