Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{AMB}=90^o$

$\to \widehat{BMP}=\widehat{BCP}=90^o$

$\to BMPC$ nội tiếp đường tròn đường kính $PB$

b.Ta có:

$\widehat{NQB}=\widehat{NMB}=\widehat{BMC}=\widehat{BPC}$

$\to NQ//PC$

Mà $PC\perp AB$

$\to NQ\perp AB$

Xét $\Delta AMB,\Delta ACP$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{AMB}=\widehat{ACP}(=90^o)$

$\to \Delta AMB\sim\Delta ACP(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AP}$
$\to AM.AP=AB.AC$

Tương tự:

$CN.CM=CB.CA$

$\to AM.AP+CN.CM=AB.AC+CB.CA=AC^2$

c.Gọi $I$ là trung điểm $AC$

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta MAC$

$\to G\in IM, \dfrac{IG}{IM}=\dfrac13$

Qua $G$ kẻ $GD//AM, GE//MB$

$\to GD\perp GE$ vì $MA\perp MB$

Mà:

$\dfrac{ID}{AI}=\dfrac{IG}{IM}=\dfrac13$

$\dfrac{IE}{IB}=\dfrac{IG}{IM}=\dfrac13$

$\to ID=\dfrac13IA, IE=\dfrac13IB$

$\to D, E$ cố định

Lại có: $GD\perp GE$

$\to \widehat{DGE}=90^o$

$\to G\in$ đường tròn đường kính $DE$ không đổi khi $M$ thay đổi trên $(O)$