a)

T/g ABC cân tại A -> AB=AC ; ∠B=∠ACB

Ta có: chung cạnh AH ; AB=AC(gt) ; ∠H vuông ( AH là đường cao)

-> t/g ABH=ACH (cạnh huyền-cạnh góc nhọn)

-> Đpcm

T/g ABC cân tại A mà AH là đường cao từ đỉnh cân

-> AH là đường trung tuyến

-> H là trung điểm BC

Vì GK=GB nên G trung điểm BK

Xét t/g BCK có:

G trung điểm BK -> CG trung tuyến

H trung điểm BC -> KH trung tuyến

-> 2 đường trên cắt tại I -> I là trọng tâm của t/g BCK

-> Đpcm

b)

T/g ABC cân tại A mà AH là đường cao từ đỉnh cân A

-> AH là đường trung trực

G thuộc AH nên t/g BGC cân tại G

-> GB=GC

Mà GK=GB (gt) -> GB=GC=GK

-> Tính chất đường trung tuyến từ đỉnh vuông

-> t/g BCK vuông tại C

KC vuông với BC

-> Đpcm

c)

Ta có: N trung điểm AC -> BN trung tuyến của t/g ABC

AH là đường trung tuyến của t/g ABC (cmtr)

-> 2 đường giao tại G nên G trọng tâm ABC

-> AG=2/3 AH

-> AG=2GH (*)

Từ chứng minh trên -> H trung điểm BC

-> BH=CH

Xét t/g BHG -> BH+GH > BG (bất đẳng thức trong t/g)

Tương tự với t/g CHG -> CH+GH > CG

Cộng cả hai vào -> BH+CH+GH+GH > BG+CG

-> BC+2GH > BG+CG

-> BC+AG > BC+CG ( theo *)

G là trọng tâm t/g ABC  (cmtr)

-> CG=2/3 GM

-> CG=2GM=BG (cmtr)

-> BC+AG > 2GM+2GM

-> BC+AG > 4GM

-> GM < 1/4 (BC+AG)

-> Đpcm