$\rm \color{yellow}{Sun}$

c.

xét `\Delta AHB` và `\Delta CHA` có:

`hat(BHA)=hat(CHA)=90^o`

`hat(BAH)=hat(ACH)(` cùng phụ `hat(ABC))`

suy ra `\Delta AHB~\Delta CHA(g.g)`

suy ra `(AH)/(HC)=(HB)/(AH)`

suy ra `AH^2=HB.HC(1)(đpcm)`

d.

gọi `D` là giao điểm của `AB` và `EH`

suy ra `AB` là đường trung trực của `EH` và `ED=HD;AB bot EH` tại `D`

xét `\Delta ADE` và `\Delta ADH` có:

`hat(ADE)=hat(ADH)=90^o`

`AD` chung

`ED=HD(cmt)`

suy ra `\Delta ADE=\Delta ADH(2` cạnh góc vuông `)`

suy ra `AE=AH` và `hat(EAB)=hat(HAB)`

ta có `\Delta ABC` vuông tại `A`

suy ra `S_(\Delta ABC)=(AH.BC)/2=(AB.AC)/2`

suy ra `AH.BC=AB.AC`

suy ra `AH=(AB.AC)/(BC)`

lại có `BC=sqrt(AB^2+AC^2)=sqrt(15^2+20^2)=25(cm)(` đ/lí Pythagore `)`

suy ra `AH=(15.20)/25=12(cm)`

suy ra `AE=AH=12cm`

xét `\Delta ABE` và `\Delta ABH` có:

`AB` chung

`AE=AH(cmt)`

`hat(EAB)=hat(HAB)(cmt)`

suy ra `\Delta ABE=\Delta ABH(c.g.c)`

suy ra `hat(AEB)=hat(AHB)=90^o`

suy ra `\Delta AEB` vuông tại `E`

suy ra `EB=sqrt(AB^2-AE^2)=sqrt(15^2-12^2)=9(cm)(` đ/lí Pythagore `)`

suy ra `S_(\Delta AEB)=(EB.AE)/2=(9.12)/2=54(cm^2)(**)`

________________________________

gọi `G` là giao điểm của `HF` và `AC`

suy ra `AC bot HF` tại `G` và `HG=FG`

xét `\Delta HGC` và `\Delta FGC` có:

`HG=FG(cmt)`

`GC` chung

`hat(HGC)=hat(FGC)(=90^o)`

suy ra `\Delta HGC=\Delta FGC(2` cạnh góc vuông `)`

suy ra `HC=FC` và `hat(HCG)=hat(FCG)`

xét `\Delta AHC` và `\Delta AFC` có:

`HC=FC`

`AC` chung

`hat(HCG)=hat(FCG)(cmt)`

suy ra `\Delta AHC=\Delta AFC(c.g.c)`

suy ra `hat(AHC)=hat(AFC)=90^o` và `AH=AF=12cm`

suy ra `\Delta AFC` vuông tại `F`

suy ra `FC=sqrt(AC^2-AF^2)=sqrt(20^2-12^2)=16(cm)(` đ/lí Pythagore `)`

suy ra `S_(\Delta AFC)=(AF.FC)/2=(12.16)/2=96(cm^2)(** **)`

______________________________________

có `\Delta ABC` vuông tại `A`

suy ra `S_(\Delta ABC)=(AB.AC)/2=(15.20)/2=150(cm^2)(** ** **)`

______________________________________

có `hat(BAH)+hat(CAH)=90^o`

suy ra `2.hat(BAH)+2.hat(CAH)=180^o`

hay `hat(EAH)+hat(FAH)=180^o`

suy ra `3` điểm `E,A,F` thẳng hàng

từ `(**),(** **)` và `(** ** **)` suy ra:

`S_(BEFC)=S_(\Delta ABC)+S_(\Delta AEB)+S_(\Delta ACF)=150+54+96=300(cm^2)`