$\text{$\Delta'=2^2-(-3m+1)=3m+3$} \\ \text{Để phương trình có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$ thì $\Delta'>0$} \\ \Rightarrow{3m+3>0(1)} \\ \Rightarrow{m>-1} \\ \text{Ta có: $\begin{cases} x_1=\frac{2+\sqrt{3m+3}}{1} = 2+\sqrt{3m+3}\\x_2=\frac{2-\sqrt{3m+3}}{1} = 2-\sqrt{3m+3} \end{cases}$} \\ \text{Vì $x_1,x_2$ là các số tự nhiên khác 0} \\ \text{nên $\begin{cases} 2+\sqrt{3m+3}>0\\2-\sqrt{3m+3}>0\\\sqrt{3m+3} \in N\end{cases}$ (2)} \\ \text{Từ (1) và (2) suy ra $\begin{cases} 0<\sqrt{3m+3}<2\\\sqrt{3m+3} \in N\end{cases}$} \\ \Rightarrow{\sqrt{3m+3} = 1} \\ \Rightarrow{3m+3 = 1} \\ \Rightarrow{m = \frac{-2}{3}} \\$$\text{$\Rightarrow$ $\begin{cases} x_1= 2+\sqrt{3.\frac{-2}{3}+3}\\x_2= 2-\sqrt{3.\frac{-2}{3}+3} \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} x_1= 3\\x_2= 1 \end{cases}$}$ $\\$ $\text{Vậy $A=x_1+2x_2+3m=3+2.1+3.\frac{-2}{3} = 3$}$