Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^o$

$\to A, B, D, E\in$ đường tròn đường kính $AB$

2.Xét $\Delta ABD,\Delta AA'C$ có:

$\hat D=\hat C(=90^o)$ vì $AA'$ là đường kính của $(O)$

$\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AA'C}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta AA'C(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{A'C}=\dfrac{AD}{AC}$

$\to DB\cdot AC=AD\cdot A'C$

3.Ta có: $AEDB$ nội tiếp
$\to \widehat{EDC}=\widehat{EAB}=\widehat{BAA'}=\widehat{BCA'}$

$\to DE//CA'$

Mà $CA'\perp AC\to DE\perp AC$

4.Kẻ $A'G\perp BC, H$ là trung điểm $BC$

Xét $\Delta A'GC,\Delta ADC$ có:

$\widehat{A'GC}=\widehat{ADC}(=90^o)$

$\widehat{A'CG}=90^o-\widehat{DCA}=\widehat{DAC}$

$\to \Delta GA'C\sim\Delta DCA(g.g)$

$\to \dfrac{GC}{DA}=\dfrac{A'C}{CA}$

$\to CG=\dfrac{AD\cdot A'C}{AC}$

Từ câu 2 $\to BD=\dfrac{AD\cdot A'C}{AC}$

$\to CG=BD$

Do $H$ là trung điểm $BC\to HB=HC$

$\to HD=HB-BD=HC-CG=HG$

$\to H$ là trung điểm $DG$

Ta có: $\widehat{A'CG}=\widehat{A'FC}=90^o\to A'CGF$ nội tiếp

$\to \widehat{DGF}=\widehat{FA'C}=\widehat{AA'C}=\widehat{ABC}\to FG//AB$

Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^o\to ADFC$ nội tiếp

$\to \widehat{FDC}=\widehat{FAC}=\widehat{A'AC}=\widehat{A'BC}$

$\to DF//A'B$

Mà $DB\perp AB\to DF\perp FG$

Ta có: $\widehat{BEA'}=\widehat{BGA'}=90^o\to BEGA'$ nội tiếp đường tròn đường kính $A'B$

$\to \widehat{BGE}=\widehat{BA'E}=\widehat{BA'A}=\widehat{BCA}$

$\to EG//AC$

Mà $DE//A'C, AC\perp A'C$

$\to DE\perp EG$

$\to \widehat{DFG}=\widehat{DEG}=90^o$

$\to DEGF$ nội tiếp đường kính $DG$

$\to (DEF)$ là đường tròn đường kính $DG$

Do $H$ là trung điểm $DG$

$\to H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $DEF$

$\to $Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$ là trung điểm $BC$ cố định