Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABH,\Delta ACI$ có:

$AB=AC$

$\hat H=\hat I(=90^o)$

$\widehat{HAB}=90^o-\widehat{IAC}=\widehat{ICA}$

$|to \Delta AHB=\Delta CIA$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AI=BH$

b.Ta có:

$BH^2+CI^2=AI^2+CI^2=AC^2$ không đổi

c.Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A, M$ là trung điểm $BC$

$\to AM\perp BC$

$\to AN\perp CD$

Mà $CI\perp AD\to CN\perp AD$

$\to N$ là trực tâm $\Delta ADC$
$\to DN\perp AC$

d.Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

$\to \hat B=\hat C=45^o$

Mà $AM\perp BC$

$\to \Delta AMB,\Delta AMC$ vuông cân tại $M$

$\to AM=MB=MC$

Từ a $\to \widehat{IAC}=\widehat{ABH}$

$\to \widehat{IAM}=\widehat{IAC}-45^o=\widehat{ABH}-45^o=\widehat{MBH}$

$\to \Delta MAI=\Delta MBH(c.g.c)$

$\to MI=MH, \widehat{AMI}=\widehat{BMH}$

$\to \widehat{IMH}=\widehat{IMB}+\widehat{BMH}=\widehat{IMB}+\widehat{IMA}=\widehat{AMB}=90^o$

$\to \Delta MIH$ vuông cân tại $M$

$\to \widehat{MIH}=45^o=\dfrac12\widehat{CIH}$

$\to IM$ là phân giác $\widehat{CIH}$