giải dùm mình sao cho dễ hiểu với ạ

Ý tưởng: Quãng đường di chuyển chỉ có $T=ME+2MD$ là đại lượng thay đổi, nên ta sẽ đánh giá đại lượng này xem nhỏ nhất khi nào? Ở đây hệ số của ME và MD khác nhau nên ta tìm cách đưa hệ số về giống nhau để dùng bất đẳng thức trong tam giác. Và với bài toán này ta sẽ gọi thêm điểm K để xét 2 tam giác đồng dạng, đưa ME về thành 2MK.

Gọi P là trung điểm AB. Ta có: $OE=\sqrt{OP^2+PE^2}=50m$. Nhận thấy $\Delta MOE$ có $OE=2OM$ nên ta sẽ gọi điểm K thuộc đoạn OE sao cho $OK=\dfrac{1}{4}OE=12,5m$ để đảm bảo $\Delta KOM$ có $OM=2OK$, và 2 tam giác này có chung góc O nên 2 tam giác đồng dạng.

Ví dụ nếu $OE=4OM$ thì ta sẽ gọi điểm K sao cho $OM=4OK$ để đảm bảo 2 tam giác có 2 cạnh của góc chung có tỉ lệ độ dài giống nhau.

Khi đó ta có: $\begin{cases} \widehat{KOM}=\widehat{MOE}\\\dfrac{OK}{OM}=\dfrac{OM}{OE}=\dfrac{1}{2} \end{cases}\Rightarrow\Delta KOM\backsim\Delta MOE (c.g.c)$.

Từ đó ta có $\dfrac{ME}{KM}=\dfrac{MO}{KO}=2\Leftrightarrow ME=2MK$.

Xét $T=ME+2MD=2MK+2MD=2(MK+MD)\ge 2DK$.

Có $OD=\dfrac{1}{2}BD=10\sqrt{41}m$.

Áp dụng định lý Cosin: $DK^2=OD^2+OK^2-2.OD.OK.\cos\widehat{DOK}=OD^2+OK^2+2.OD.OK.\cos\widehat{BOE}$ (do 2 góc $\widehat{DOK}$ và $\widehat{BOE}$ bù nhau)

$\Leftrightarrow DK^2=OD^2+OK^2+2.OD.OK.\dfrac{OB^2+OE^2-BE^2}{2.OB.OE}$

$\Leftrightarrow DK^2=5806,25\Leftrightarrow DK=\dfrac{5\sqrt{929}}{2}m\Rightarrow T\ge 5\sqrt{929}$.

Mà $DC+CB+BE=200m$.

Vậy $\Leftrightarrow S=T+DC+CB+BE\ge 200+5\sqrt{929}\approx 352m$.

Kết luận: $S_{min}=352m$ khi $M\equiv N$.