Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD=HA.Trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho CB=CE

a. C/M C là trọng tâm tam giác ADE

b.Tia AC cắt DE tại M, chứng minh AE//HM

a)

T/g ABC cân tại A mà AH là đường cao nên AH là trung tuyến hay H trung điểm BC

HD=HA và H thuộc AD -> H trung điểm AD

CB=CE mà H trung điểm BC

-> CB=2BH=2CH=CE

-> CE = 2CH

-> CE=2/3 (CE+CH)

-> CE=2/3 EH

Xét t/g ADE -> EH là trung tuyến mà EC=2/3 EH

-> C trọng tâm t/g ADE

-> Đpcm

b)

Xét ΔAHB và ΔAHC có :

HA chung

HB=HC ( AH là đường trung tuyến của BC )

AB=AC ( ΔABC cân tại A )

D đó : ΔAHB=ΔAHC(c−c−c)

->∠AHB=∠AHC ( hai góc tương ứng )

Mà ∠AHB+∠AHC=180 ( hai góc kề bù )

->∠AHB=∠AHC=180/2=90

Xét ΔAHE và ΔHED có :

HE chung

HA=HD ( HE là đường trung tuyến của AD )

∠AHE=∠DHE(=90)

-> t/g AHE=DHE ( hai cạnh góc vuông )

->∠AEH=∠DEH ( góc tương ứng ) (*)

Vì C là trọng tâm của ΔAED

->AM là đường trung tuyến của DE

->DM=ME

Xét ΔHED vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE

->HM=DM (1)

Mà DM=ME(cmtr)(2)

Từ (1) và (2)

->HM=ME

->ΔHME cân tại M

->∠MHE=∠MEH

Có ∠MEH=∠HEA(cmt) ở cái (*)

->∠MHE=∠HEA

mà hai góc này ở vị trí so le trong

->HM//AE

-> Đpcm