Bài giải

1. Vẽ hình và giả thiết:

Tam giác ABC bất kỳ.

Tam giác đều ABD được dựng về phía ngoài tam giác ABC.

Tam giác đều ACE cũng dựng về phía ngoài.

Vì ABD và ACE đều là tam giác đều nên ta có:

AB = AD và các góc của tam giác ABD đều bằng 60 độ.

AC = AE và các góc của tam giác ACE cũng bằng 60 độ.

2. Gọi H là chân đường vuông góc từ A xuống DE.

=> AH ⊥ DE.

3. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE.

=> M, I là hai điểm cố định xác định bởi các đoạn thẳng BC và DE.

4. Mục tiêu: Chứng minh MH = MI.

_Phân tích và chứng minh:

+Phân tích tính chất của tam giác đều

Tam giác ABD đều nên:

Góc BAD = 60°

Góc ABD = Góc ADB = 60°

AB = AD

Tương tự, tam giác ACE đều:

Góc CAE = 60°

AC = AE

+Xét phép quay

Xét phép quay tâm A, góc +60°, biến điểm B thành D:

Vì tam giác ABD đều nên phép quay 60° quanh A sẽ biến AB thành AD, nghĩa là:

D là ảnh của B qua phép quay 60° quanh A.

Tương tự, phép quay tâm A, góc -60° sẽ biến C thành E:

E là ảnh của C qua phép quay -60° quanh A.

=> Suy ra: đoạn DE là ảnh của đoạn BC qua phép quay tâm A, góc 60°.

+Tính chất của phép quay:

Phép quay bảo toàn khoảng cách, nên:

BC và DE có cùng độ dài.

Đặc biệt, nếu M là trung điểm BC, I là trung điểm DE thì:

Ảnh của M qua phép quay cũng sẽ biến thành I.

Do đó:

Tam giác AMI cân tại A và AH là đường cao từ A xuống MI.

+Xét tam giác AMI có AH ⊥ MI, và M, I là trung điểm đối xứng nhau qua AH

=> AH là đường trung trực của đoạn thẳng MI.

Mà H nằm trên AH, nên từ tính chất đường trung trực:

MH = MI

Kết luận:

MH = MI (đpcm)