Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{AKB}=\widehat{AHB}=90^o$

$\to ABHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

b.Vì $AA'$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ACA'}=90^o=\widehat{AHB}$

Mà $\widehat{AA'C}=\widehat{ABC}=\widehat{ABH}$

$\to \Delta ABH\sim\Delta AA'C(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AA'}=\dfrac{AH}{AC}$

$\to AB.AC=AH.AA'$

Vì $I$ là trung điểm $BC$

$\to OI\perp BC$

$\to \widehat{OIC}=\widehat{OFC}=90^o$

$\to OIFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$

Vì $\widehat{AHC}=\widehat{AFC}=90^o$

$\to AHFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

$\to \widehat{IHF}=\widehat{FHC}=\widehat{FAC}=\dfrac12\widehat{A'OC}=\dfrac12\widehat{FOC}=\dfrac12\widehat{FIC}$

$\to 2\widehat{IHF}=\widehat{FIC}$

$\to \widehat{IHF}=\widehat{FIC}-\widehat{IHF}$

$\to \widehat{IHF}=\widehat{IFH}$

$\to \Delta IHF$ cân tại $I$

c.Ta có:

$\widehat{APB}=\widehat{AHB}=\widehat{AKB}=90^o$

$\to A,B,  H, K, P\in$ đường tròn đường kính $AB$

Vì $\Delta AHC$ vuông tại $H, M$ là trung điểm $AC$

$\to MH=MA=MC=\dfrac12AC$

$\to \Delta MHC,\Delta MAH$ cân tại $M$

Ta có: $M$ là trung điểm $AC$

$\to OM\perp AC$

$\to \widehat{APM}=\widehat{ABH}=\widehat{ABC}=\dfrac12\widehat{AOC}=\widehat{AOM}$

$\to APOM$ nội tiếp

$\to \widehat{APO}=180^o-\widehat{AMO}=90^o$

$\to AP\perp OP$

Mà $\widehat{APB}=90^o$

$\to AP\perp PB$

$\to B, P, O$ thẳng hàng