Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn tâm (O), tia phân giác của BAC cắt

BC tại D và cắt (O) tại M (M = A). Vẽ DH vuông góc với AB tại H (H = AB), DK LAC

tại K (K ∈ AC). ME L AC tại E (E ∈ AC). Gọi N là trung điểm của BC.

E

a) Chứng minh tứ giác MNEC nội tiếp đường tròn và HKD = NEM .

b) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt HK tại I. Chứng minh ba điểm A,I,N

thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AM$ là phân giác $\hat A$

$\to MB=MC$

$\to OM\perp BC$

Do $N$ là trung điểm $BC$

$\to ON\perp BC$

$\to O, N, M$ thẳng hàng

$\to \widehat{MEC}=\widehat{MNC}=90^o$

$\to MNEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $CM$

b.Qua $I$ kẻ $FG//Bc, F\in AB, G\in AC$

Vì $ID\perp BC\to ID\perp FG$

$\to \widehat{FID}=\widehat{DHF}=90^o,\widehat{DIG}=\widehat{DKG}=90^o$

$\to DHFI, DIKG$ nội tiếp

$\to \widehat{IFD}=\widehat{IHD}=\widehat{DHK}=\widehat{DKH}=\widehat{DKI}=\widehat{DGI}$

$\to \Delta DGF$ cân tại $I$

Lại có: $DI\perp FG$

$\to I$ là trung điểm $FG$

$\to \dfrac{FI}{BN}=\dfrac{2FI}{2BN}=\dfrac{FG}{BC}=\dfrac{AF}{AB}$

Do $\widehat{AFI}=\widehat{AFG}=\widehat{ABC}=\widehat{ABN}$

$\to \Delta AFI\sim\Delta ABN(c.g.c)$

$\to \widehat{FAI}=\widehat{BAN}$

$\to A, I, N$ thẳng hàng