Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), các đường cao AD, BE, CF (D∈ BC, E∈ AC, F∈ AB) cắt nhau tại H.

1) Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp và BF .BA=BH.BE

2) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC, M là giao điểm của tia EF và tia CВ. Chứng minh rằng FAD = OFC và O * C ^ 2 =OD.OM

3) Chứng minh rằng hai đường thẳng MH và AO vuông góc nhau

Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Xét $\Delta BFH,\Delta ABE$ có:

Chung $\hat B$

$\hat F=\hat E(=90^o)$

$\to \Delta BFH\sim\Delta BEA(g.g)$

$\to \dfrac{BF}{BE}=\dfrac{BH}{BA}$

$\to BF.BA=BH.BE$

2.Ta có: 

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Do $O$ là trung điểm $BC$

$\to O$ là tâm $(BCEF)$

$\to \widehat{OFC}=\widehat{OCF}=90^o-\widehat{DHC}=90^o-\widehat{AHF}=\widehat{HAF}=\widehat{FAD}$

Ta có: $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^o$

$\to AEDB$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

$\to \widehat{EDO}=\widehat{EAB}=\widehat{FAC}=90^o-\widehat{ACF}=\dfrac12(180^o-2\widehat{ECF})=\dfrac12(180^o-\widehat{EOF})=\widehat{OEF}=\widehat{OEM}$

$\to \Delta ODE\sim\Delta OEM(g.g)$

$\to \dfrac{OD}{OE}=\dfrac{OE}{OM}$

$\to OE^2=OD.OM$

$\to OC^2=OD.OM$ vì $OE=OC$

3.Ta có:

$ OC^2=OD.OM$

$\to OC^2-OD^2=OD.OM-OD^2$

$\to (OC-OD)(OC+OD)=OD.OM-OD^2$

$\to (OB-OD)(OC+OD)=OD(OM-OD)$

$\to DB.DC=DO.DM$

$\to \dfrac{DB}{DO}=\dfrac{DM}{DC}$

Mà $\widehat{MDH}=\widehat{ADO}$

$\to \Delta DMH\sim\Delta DAO(c.g.c)$

$\to \widehat{DMH}=\widehat{DAO}$

$\to MH\cap AO=G$

$\to \widehat{DAG}=\widehat{GMD}$

$\to AMDG$ nội tiếp

$\to \widehat{AGM}=\widehat{ADM}=90^o$

$\to MH\perp AO, AH\perp OM$