Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABD,\Delta ACD$ có:

Chung $AD$ 

$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}(=90^o)$

$AB=AC$

$\to \Delta ABD=\Delta ACD$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to \widehat{DAB}=\widehat{DAC}$

$\to AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$

b.Ta có: $BE\perp BC\to \Delta BCE$ vuông tại $B$

$\to \widehat{ABE}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-\widehat{ACB}=\widehat{AEB}$

$\to \Delta ABE$ cân tại $A$

$\to AE=AB$

$\to AE=AC(=AB)$

$\to A$ là trung điểm $CE$

$\to BA$ là trung tuyến $\Delta BCE$

c.Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A, AD$ là phân giác $\hat A$

$\to AD\perp BC$

Lại có: $BE\perp BC$

$\to AD//BE$

$\to AI//BE$

Trên tia đối của tia $AI$ lấy $K$ sao cho $AK=AI$

Xét $\Delta AIC,\Delta AKE$ có:

$AI=AK$

$\widehat{IAC}=\widehat{KAE}$

$AC=AE$

$\to \Delta ACI=\Delta AEK(c.g.c)$

$\to EK=CI, \widehat{AKE}=\widehat{AIC}=90^o$

$\to EK=BI$ vì $IB=IC$

$\to IK^2=EI^2-EK^2=EI^2-IB^2=EB^2$

$\to IK=BE$

$\to 2IA=BE$

$\to AI=\dfrac12BE$