Giải thích các bước giải:

a.Vì $G$ là trung điểm $DE$

$\to OG\perp DE$

Vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AC\perp AO$

$\to \widehat{CAO}=\widehat{CGO}=90^o$

$\to AOGC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$

b.Vì $CA, CF$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to CO\perp AF$

$\to OH.OC=OA^2=R^2=OE^2$

Xét $\Delta OHI,\Delta OGC$ có:
Chung $\hat O$
$\widehat{OHI}=\widehat{OGC}(=90^o)$

$\to \Delta OHI\sim\Delta OGC(g.g)$

$\to \dfrac{OH}{OG}=\dfrac{OI}{OC}$

$\to OG.OI=OH.OC=OE^2$

$\to \dfrac{OG}{OE}=\dfrac{OE}{OI}$

$\to \Delta OGE\sim\Delta OEI(c.g.c)$

$\to \widehat{OEI}=\widehat{OGE}=90^o$

$\to IE\perp OE$

$\to IE$ là tiếp tuyến của $(O)$

c.Gọi $MA\cap (O)=L$

Ta có: $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ADB}=90^o$

$\to \widehat{MDA}=\widehat{MHA}=906o$

$\to MAHD$ nội tiếp

Ta có: $CH.CO=CA^2=CD.CE$

$\to \dfrac{CH}{CD}=\dfrac{CE}{CO}$

$\to \Delta CDH\sim\Delta COE(c.g.c)$

$\to \widehat{CDH}=\widehat{CEO}$

$\to \widehat{OED}=\widehat{CHD}=\widehat{MHD}=\widehat{MAD}=\widehat{DAL}=\widehat{DEL}$

$\to E, O, L$ thẳng hàng

$\to O$ là trung điểm $EL$

$\to \dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OL}{OE}$

$\to AL//BE$

$\to \dfrac{OM}{ON}=\dfrac{OA}{OB}=1$

$\to OM=ON$

$\to O$ là trung điểm $MN$