Bài toán:

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt a1,a2,...,ana_1, a_2, ..., a_na1​,a2​,...,an​ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1. a1+a2+⋯+an=n2a_1 + a_2 + \cdots + a_n = n^2a1​+a2​+⋯+an​=n2

2. Không có 3 số nào trong dãy là cấp số cộng.

Yêu cầu:

• Trình bày đầy đủ lập luận, chứng minh và cách tìm lời giải.

• Ghi rõ tất cả các giá trị $n$ thỏa mãn yêu cầu.

• Nếu có vô hạn giá trị $n$ thỏa mãn, hãy chứng minh điều đó.

Gợi ý (nếu cần):

• Áp dụng các định lý về cấp số cộng, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, và phân tích số nguyên.

• Cân nhắc sử dụng phương pháp phản chứng hoặc quy nạp toán học.