Giải thích các bước giải:

a.Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to MO\perp AB, \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^o$

$\to M, A, O, B\in$ đường tròn đường kính $OM$

b.Vì $OI\perp BD$

$\to OI$ là phân giác $\widehat{DOB}$

$\to \widehat{DAB}=\dfrac12\widehat{DOB}=\widehat{BOI}$

Ta có: $MB$ là tiếp tuyến của $(O), E\in MB$
$\to \widehat{EBD}=\widehat{DAB}=\widehat{EAB}$

$\to \Delta EDB\sim\Delta EBA(g.g)$

$\to \dfrac{ED}{EB}=\dfrac{EB}{EA}$

$\to EB^2=ED.EA$

c.Vì $KC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{KCA}=90^o=\widehat{MAO}$

Mà $\widehat{KAC}=90^o-\widehat{MAB}=\widehat{AMO}$ vì $MO\perp AB$

$\to \Delta CAK\sim\Delta AMO(g.g)$

$\to \dfrac{AC}{MA}=\dfrac{CK}{AO}$

$\to \dfrac{AC}{MA}=\dfrac{CK}{OC}$

$\to \Delta MAC\sim\Delta OCK(c.g.c)$

Gọi  $MC\cap OK=F$

$\to \widehat{KOC}=\widehat{CMA}\to \widehat{FOC}=\widehat{FMA}$

$\to \Delta CFO\sim\Delta CAM(g.g)$

$\to \widehat{CFO}=\widehat{CAM}=90^o$

$\to OK\perp MC$

Ta có:

$AM=R\sqrt3$

$AC=2R$

$\Delta MAO\sim\Delta ACK\to \dfrac{AO}{CK}=\dfrac{AM}{AC}\to \dfrac{R}{CK}=\dfrac{R\sqrt3}{2R}\to CK=\dfrac{2R}{\sqrt3}$

$\tan\widehat{MOA}=\dfrac{AO}{AM}=\dfrac1{\sqrt3}\to \widehat{MOA}= 30^o\to \widehat{BAC}=\widehat{AMO}=30^o\to \widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=60^o$

Diện tích hình phẳng cần tìm:

$S=S_{MACK}-S_{MAOB}-S_{cung\: OBC}$

$=\dfrac12(AM+CK)\cdot AC-MA\cdot AO-\dfrac{\widehat{BOC}}{360}\cdot \pi\cdot R^2$

$=\dfrac12(R\sqrt3+\dfrac{2R}{\sqrt3})\cdot 2R-R\sqrt3\cdot R-\dfrac{60}{360}\cdot \pi R^2$

$=-\dfrac{\pi R^2}{6}+\dfrac{2\sqrt{3}R^2}{3}$