Ta có:

$P = \frac{y^2 + z^2}{x^2} + \frac{7x^2}{2} \left( \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) + 2023$

Áp dụng bđt $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$ cho $a=y^2, b=z^2$ (với $y, z > 0$), ta có:

$\frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \ge \frac{4}{y^2 + z^2}$

$P \ge \frac{y^2 + z^2}{x^2} + \frac{7x^2}{2} \cdot \frac{4}{y^2 + z^2} + 2023$

$P \ge \frac{y^2 + z^2}{x^2} + \frac{14x^2}{y^2 + z^2} + 2023$

Đặt $t = \frac{y^2 + z^2}{x^2}$.

Do $x, y, z > 0$ và $x^2 \ge y^2 + z^2$, ta có:

$0 < y^2 + z^2 \le x^2 \implies 0 < \frac{y^2 + z^2}{x^2} \le 1$.

Vậy $0 < t \le 1$.

Khi đó, bất đẳng thức trở thành:

$P \ge t + \frac{14}{t} + 2023$

Xét hàm số $f(t) = t + \frac{14}{t}$ với $0 < t \le 1$.

Ta có: $f(t) = t + \frac{14}{t} = \left( t + \frac{1}{t} \right) + \frac{13}{t}$.

$f(t) = t + \frac{14}{t} = (t + \frac{14}{t})$.

với $0 < t_1 < t_2 \le 1$:

$f(t_2) - f(t_1) = (t_2 + \frac{14}{t_2} ) - (t_1 + \frac{14}{t_1})$

$= (t_2 - t_1) + 14(\frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1})$

$= (t_2 - t_1) + 14 \frac{t_1 - t_2}{t_1 t_2}$

$= (t_2 - t_1) \left( 1 - \frac{14}{t_1 t_2} \right)$

Vì $0 < t_1 < t_2 \le 1$ nên $t_2 - t_1 > 0$ và $0 < t_1 t_2 < 1$.

Do đó $\frac{14}{t_1 t_2} > 14$, suy ra $1 - \frac{14}{t_1 t_2} < 1 - 14 = -13 < 0$.

Vậy $f(t_2) - f(t_1) < 0$, hàm số $f(t)$ nghịch biến trên $(0, 1]$.

$min f(t) = f(1) = 1 + \frac{14}{1} = 15$.

Suy ra: $P \ge 15 + 2023 = 2038$.

GTNN $P$ là $2038$.

Dấu "=" xảy ra khi:

1. $\frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{4}{y^2 + z^2} \implies y^2 = z^2 \implies y = z$ (do $y, z > 0$)

2. $t = 1 \implies \frac{y^2 + z^2}{x^2} = 1 \implies x^2 = y^2 + z^2$

dấu "=" xảy ra khi $y=z$ và $x^2 = y^2 + z^2 = 2y^2$.

chọn $y=z=1$, suy ra $x^2=2 \implies x=\sqrt{2}$. Các giá trị này thỏa mãn điều kiện $x, y, z > 0$ và $x^2 \ge y^2 + z^2$.

Vậy GTNN của $P$ là $2038$.