c) Áp dụng Định lý Pythagore cho các tam giác vuông tại $B$ là $ABO$ và $ABD$ ta có:

$AB^2=OA^2-OB^2=(3R)^2-R^2=8R^2\Rightarrow AB=2R\sqrt{2}.$

$AD^2=AB^2+OB^2=8R^2+(2R)^2=12R^2 \Rightarrow AD=2R\sqrt{3}.$

Theo câu b) ta đã chứng minh được $AB^2=AD.AE$

Nên $8R^2=2R\sqrt{3}.AE\Rightarrow AE=\frac{4R}{\sqrt{3}}$

Ta cũng đã chứng minh được $\triangle AHE \backsim \triangle ADO$ với tỉ số đồng dạng $k=\frac{AE}{AO}=\frac{4R}{\sqrt{3}}:(3R)=\frac{4\sqrt{3}}{9}$

Do đó $\frac{S_{\triangle AHE}}{S_{\triangle ADO}}=k^2=\frac{16}{27}.$

Hay $S_{\triangle AHE}=\frac{16}{27}.S_{\triangle ADO}\Rightarrow S_{EHOD}=\frac{11}{27}.S_{\triangle ADO}=\frac{11}{27}.\frac{1}{2}.AB.OD=\frac{11}{27}.\frac{1}{2}.2R\sqrt{2}.R=\frac{11R^2\sqrt{2}}{27}$