Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có $P = \frac{x^2 - 8x + 7}{x^2 + 1}$.

$\implies P(x^2 + 1) = x^2 - 8x + 7$

$\implies Px^2 + P = x^2 - 8x + 7$

$\implies (P - 1)x^2 + 8x + (P - 7) = 0 \quad (*)$

Xét $\Delta = 8^2 - 4(P - 1)(P - 7)= -4P^2 + 32P + 36$

Để phương trình $(*)$ có nghiệm thực thì $\Delta \ge 0$:

$\implies -4P^2 + 32P + 36 \ge 0$

$\implies P^2 - 8P - 9 \le 0$

$\implies -1\le P\le 9$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $-1$ và giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $9$.