Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm 4(3;-2;-1), B(1; 4; 6), C(3; 38; -16), D(2;5;1). Điểm M(a;b;c) thỏa mãn biểu thức P = MD⁴- 16/3 MD³-4MA²-5MB²- MC² đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức Q=a+b+c? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu `4:`

`vec{AM} (a-3;b+2;c+1) ; vec{BM} (a-1;b-4;c-6);  vec{CM} (a-3;b-38;c+16) ; vec{DM} (a-2;b-5;c-1)`

`to 4MA^2 + 5MB^2 + MC^2 = 4( (a-3)^2 + (b+2)^2 + (c+1)^2) + 5( (a-1)^2 + (b-4)^2 + (c-6)^2) + (a-3)^2 + (b-38)^2 + (c+16)^2`

` = 10a^2 - 40a + 10b^2 - 100b + 10c^2 - 20c + 2030`

` =  10(a - 2)^2 + 10(b-5)^2  + 10(c-1)^2  +  1730`

` = 10( (a-2)^2 + (b-5)^2  + (c-1)^2)  + 1730 = 10DM^2 + 1730`

`to P = MD^4 - 16/3 MD^3 - 10MD^2 - 1730`

Đặt `x =  MD (x  > 0) to P = x^4 - 16/3 x^3 - 10x^2 - 1730`

`P' = 4x^3 - 16x^2 - 20x = 0 to x = 5` (thoả mãn) hoặc `x = 0` (không thoả mãn) hoặc ` x =  -1` (không thoả mãn)

Lập bảng biến thiên :

`to P_{min} = -6065/3` tại `x = 5`

`to DM = 5`

`to (a-2)^2 + (b-5)^2 + (c - 1)^2 = 25`

Áp dụng bđt Cô - si:

`3( (a-2)^2  + (b - 5)^2  + (c -  1)^2) \ge (a-2+b-5+c-1)^2`

`to 75 ge (a+b+c-8)^2`

`to -sqrt{75} \le a + b  +  c - 8 le sqrt{75}`

`to -sqrt{75} + 8 \le a+b+c \le sqrt{75} + 8`

to `Q_{max} = (a+b+c)_{max} = sqrt{75} + 8 ≈ 16,7`