Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABH,\Delta ACH$ có:

Chung $AH$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$
$AB=AC$

$\to \Delta ABH=\Delta ACH$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

b.Xét $\Delta NAG,\Delta NCK$ có:

$NA=NC$

$\widehat{ANG}=\widehat{CNK}$

$NG=NK$

$\to \Delta ANG=\Delta CNK(c.g.c)$

$\to \widehat{NAG}=\widehat{NCK}$

$\to AG//CK$

$\to AH//CK$

Vì $HA\perp BC\to CK\perp BC$

c.Từ a $\to BH=HC$

$\to H$ là trung điểm $BC$

Mà $N$ là trung điểm $AC$

      $BN\cap AH=G$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to GB=2GN=GK$

$\to G$ là trung điểm $BK$

Mà $H$ là trung điểm $BC$

       $KH\cap CG=I$

$\to I$ là trọng tâm $\Delta BCK$

d.Vì $M$ là trung điểm $AB, G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to C, G, M$ thẳng hàng

Xét $\Delta ANB,\Delta AMC$ có:

$AN=AM$

Chung $\hat A$

$AB=AC$

$\to \Delta ANB=\Delta AMC(c.g.c)$

$\to BN=CM$

$\to GM=\dfrac13CM=\dfrac13BN=GN$

Từ b $\to AG=CK$

$\to BC+AG=BC+CK>BK=2BG=2\cdot 2GN=4GN$

$\to GN<\dfrac14(BC+AG)$

$\to GM<\dfrac14(BC+AG)$