a) Tam giác △MNI∼△MPK\triangle MNI \sim \triangle MPK△MNI∼△MPK

Chứng minh:

Xét tam giác MNIMNIMNI và MPKMPKMPK:

• Ta có:
  NI⊥MP⇒∠NIM=90∘NI \perp MP \Rightarrow \angle NIM = 90^\circNI⊥MP⇒∠NIM=90∘
  PK⊥MN⇒∠PKM=90∘PK \perp MN \Rightarrow \angle PKM = 90^\circPK⊥MN⇒∠PKM=90∘

• Cùng lúc đó, ∠M\angle M∠M là góc chung giữa hai tam giác MNIMNIMNI và MPKMPKMPK.

⇒ Hai tam giác △MNI\triangle MNI△MNI và △MPK\triangle MPK△MPK có:

• Một góc vuông

• Một góc chung ∠M\angle M∠M

⇒ Tam giác △MNI∼△MPK\triangle MNI \sim \triangle MPK△MNI∼△MPK (đồng dạng theo trường hợp góc - góc: AA)

Kết luận: △MNI∼△MPK\triangle MNI \sim \triangle MPK△MNI∼△MPK

b) Chứng minh HN⋅HI=HK⋅HPHN \cdot HI = HK \cdot HPHN⋅HI=HK⋅HP

Chứng minh:

Vì NININI và PKPKPK là các đường cao, nên chúng cắt nhau tại trực tâm HHH của tam giác MNPMNPMNP (vì tam giác nhọn ⇒ ba đường cao cắt nhau tại trực tâm).

Xét 4 điểm N,I,P,KN, I, P, KN,I,P,K cùng với trực tâm HHH.

Ta xét 2 tam giác vuông:

• Tam giác HNIHNIHNI vuông tại III (do NI⊥MPNI \perp MPNI⊥MP)

• Tam giác HPKHPKHPK vuông tại KKK (do PK⊥MNPK \perp MNPK⊥MN)

Xét hai tam giác vuông △HNI\triangle HNI△HNI và △HPK\triangle HPK△HPK, ta chứng minh chúng đồng dạng:

• ∠HIN=∠HKP=90∘\angle HIN = \angle HKP = 90^\circ∠HIN=∠HKP=90∘

• ∠HNI=∠HPK\angle HNI = \angle HPK∠HNI=∠HPK vì là các góc đối đỉnh (do hai đường cao cắt nhau)

⇒ △HNI∼△HPK\triangle HNI \sim \triangle HPK△HNI∼△HPK (đồng dạng theo trường hợp góc – góc)

Suy ra tỉ lệ:

HNHP=HIHK⇒HN⋅HI=HP⋅HK\frac{HN}{HP} = \frac{HI}{HK} \Rightarrow HN \cdot HI = HP \cdot HKHPHN​=HKHI​⇒HN⋅HI=HP⋅HK