`a)`

`\triangle BFC` vuông tại `F` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`

`\triangle BEC` vuông tại `E` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`

`->` Tứ giác `BFEC` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`

`-> B;C;E;F` thuộc đường tròn đường kính `BC`

`b)`

`BFEC` là tứ giác nội tiếp

`-> \hat(FEB)=\hat(FCB)` (Góc nội tiếp chắn cung `FB`)

Hay `\hat(KEB)=\hat(FCK)`

Xét `\triangle KBE` và `\triangle KFC` có:

`\hat(K)` chung

`\hat(KEB)=\hat(FCK)` (cmt)`

`-> \triangle KBE` $\backsim$ `\triangle KFC\ (g-g)`

`-> (KB)/(KF)=(KE)/(KC)`

`-> KB*KC=KE*KF`

`c)`

`(KB)/(KF)=(KE)/(KC)` (cmt)

`-> (KB)/(KE)=(KF)/(KC)`

Xét `\triangle KBF` và `\triangle KEC` có:

`\hat(K)` chung

`(KB)/(KE)=(KF)/(KC)` (cmt)

`-> \triangle KBF` $\backsim$ `\triangle KEC\ (c-g-c)`

`-> (KB)/(KE)=(BF)/(CE)`

`\triangle KBE` $\backsim$ `\triangle KFC` (cmt)

`-> (KE)/(KC)=(BE)/(CF)`

Có:

`(KB)/(KC)=(KB)/(KE)*(KE)/(KC)=(BF)/(CE)*(BE)/(CF) (1)`

`BFEC` là tứ giác nội tiếp

`-> \hat(BDF)=\hat(FAC)` (Góc ngoài góc bằng trong đối diện)

Hay `\hat(BDF)=\hat(BAC)`

Xét `\triangle BDC` và `\triangle BAC` có:

`\hat(B)` chung

`\hat(BDF)=\hat(BAC)` (cmt)

`-> \triangle BDF` $\backsim$ `\triangle BAC\ (g-g)`

`-> (BD)/(AB)=(BF)/(BC)\ (2)` và `(AB)/(AC)=(BE)/(CF)\ (3)`

Tương tự `\triangle DCE` $\backsim$ `\triangle ACB\ (g-g)`

`-> (CD)/(AC)=(CE)/(BC)\ (4)`

`(2)(4)-> (BD)/(CD)=(BF)/(CE)*(AB)/(AC) (5)`

`(1)(3)(5)->(KB)/(KC)=(DB)/(DC)`