Bài 1: cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA=BD. Từ D vẽ

Dx vuông góc BC, Dx cắt AC tại H.

a. Chứng minh tam giác HBA=tam giác HBD

b. Tia Dx cắt AB tại I. Chứng minh tam giác IBC cân

c. Gọi M là trung điểm IC, chứng minh ba điểm B,H,M thẳng hàng

Bài 2: cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC), BD là đường phân giác của góc B(D thuộc AC). Vẽ DE vuông góc BC tại E.

a. Chứng minh tam giác BAD= tam giác BED

b. Chứng minh rằng DA<DC

c. Vẽ CF vuông góc BD tại F. Chứng minh ba đường thẳng AB,DE,CF đồng quy.

Giải và vẽ hình. Giúp mình làm 2 bài này với ạ

$\textit{*Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

Bài 1:

a. Chứng minh tam giác HBA = tam giác HBD

• Xét tam giác HBA và tam giác HBD, ta có:

• BA = BD (giả thiết)

• góc HBA = góc HBD (do BH là tia phân giác của góc ABC)

• BH là cạnh chung

⇒ Vậy, tam giác HBA = tam giác HBD (c.g.c)

b. Chứng minh tam giác IBC cân

→ Vì tam giác HBA = tam giác HBD (chứng minh trên) nên góc HAB = góc HDB = 90 độ.

• Xét tam giác ABI và tam giác DEI, ta có:

• góc BAI = góc EDI = 90 độ • BA = DE (do tam giác HBA = tam giác HBD)

• góc ABI = góc DEI (cùng phụ với góc IBC)

⇒ Vậy, tam giác ABI = tam giác EBI (g.c.g)

• Suy ra BI là tia phân giác của góc ABC và IA = IE.

→ Vì BI là tia phân giác của góc ABC nên góc ABI = góc CBI.

• Trong tam giác IBC, ta có BI là đường phân giác đồng thời là đường cao (do BI vuông góc với IC tại E).

⇒ Vậy, tam giác IBC cân tại B.

c. Chứng minh ba điểm B, H, M thẳng hàng

→ Gọi M là trung điểm của IC.

• Trong tam giác IBC cân tại B, BM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao và đường phân giác. Suy ra BM vuông góc với IC.

• Ta có H là giao điểm của AC và đường thẳng vuông góc với BC tại D, do đó H thuộc đường cao kẻ từ B của tam giác IBC.

• Vậy, B, H, M cùng nằm trên đường trung tuyến BM của tam giác IBC.

⇒ Do đó, ba điểm B, H, M thẳng hàng. 

Bài 2:

a. Chứng minh tam giác BAD = tam giác BED

• Xét tam giác BAD và tam giác BED, ta có:

• góc BAD = góc BED = 90 độ

• BD là cạnh chung

• góc ABD = góc EBD (do BD là tia phân giác của góc ABC)

⇒ Vậy, tam giác BAD = tam giác BED (cạnh huyền - góc nhọn)

b. Chứng minh rằng DA < DC

→ Vì tam giác BAD = tam giác BED (chứng minh trên) nên BA = BE.

• Xét tam giác BEC, ta có BE < BC (do BE là cạnh góc vuông).

• Suy ra BA < BC.

• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có AB < AC (giả thiết).

• Trên cạnh AC, ta có AD + DC = AC. Vì BA = BE và BA < AC nên BE < AC.

• Mà AD = DE (do tam giác BAD = tam giác BED) và DE < DC (do DE là cạnh góc vuông trong tam giác DEC)

⇒ Vậy, DA < DC.

c. Chứng minh ba đường thẳng AB, DE, CF đồng quy

⇒ (hình bên dưới)

• Gọi giao điểm của AB và DE là I.

• Xét tam giác BID, ta có góc IBD = góc EBD (do BD là phân giác).

• Mà góc EBD = góc BID (do tam giác BAD = tam giác BED)

• Suy ra tam giác BID cân tại D, vậy BD = DI.

• Xét tam giác vuông BFC, ta có F là chân đường cao kẻ từ C xuống BD.

• Gọi K là giao điểm của CF và BD.

• Xét tam giác BDI, ta có CF là đường cao và BD = DI, vậy CF là đường trung tuyến của tam giác BDI.

⇒ Vậy, ba đường thẳng AB, DE, CF đồng quy tại I.