Ta có:

- `\Delta: ax+by+c=0` nên vecto pháp tuyến của `\Delta` là `\vec(n_(\Delta))=(a;b)`.

- `d: 3x-y+4=0` nên vecto pháp tuyến của `d` là `\vec(n_d)=(3;-1)`.

Do d vuông góc `\Delta` nên `\vec(n_d)` vuông góc với `vec(n_(\Delta))`.

`=>\vec(n_d).vec(n_(\Delta))=0`

`<=>3a-b=0 <=>b=3a`.

Do a,b là các số tự nhiên và `a<2` nên `a=0` hoặc `a=1`.

*Nếu `a=0` ta có `b=0` (loại do vecto pháp tuyến khác (0;0))

Vậy `a=1`. Khi đó `b=3.1=3`.

Do `\Delta` cách `A(3;2)` một khoảng `2\sqrt(10)` nên:

`2\sqrt(10)=d(A,\Delta)=(\abs(3a+2b+c))/(\sqrt(a^2+b^2))`

`=(\abs(3.1+2.3+c))/(\sqrt(1^2+3^2))`

`=(\abs(9+c))/(\sqrt(10))`

`=>\abs(9+c)=20`

Do c là một số tự nhiên (`c>=0`) nên `9+c=20 <=>c=11`.

Vậy `T=a+2b+3c=1+2.3+3.11=40`.