`a)`

`KA; KB` là tiếp tuyến

`-> OA\botKA;OB\botKB`

`\triangle KAO` vuông tại `A` nội tiếp đường tròn đường kính `KO`

`\triangle KHO` vuông tại `H` nội tiếp đường tròn đường kính `KO`

`->` Tứ giác `KAOH` nội tiếp đường tròn đường kính `KO`

`b)`

`\triangle KBO` vuông tại `B` nội tiếp đường tròn đường kính `KO`

`->` Ngũ giác `KHAOB` nội tiếp đường tròn đường kính `KO`

`-> \hat(OAB)=\hat(OHB)` (Góc nội tiếp chắn cung `OB`)

Hay `\hat(OAI)=\hat(IHB)`

Xét `\triangle AIO` và `\triangle HIB` có:

`\hat(AIO)=\hat(BIH)` (đối đỉnh)

`\hat(OAI)=\hat(IHB)` (cmt)

`-> \triangle AIO` $\backsim$ `\triangle HIB\ (g-g)`

`-> (IO)/(IB)=(IA)/(IH)`

`-> IO*IH=IA*IB`

Có: `OA=OB=R`

Xét ngũ giác nội tiếp `KHBOA` có:

`\hat(OBA)` là góc nội tiếp chắn cung `OA`

`\hat(OHB)` là góc nội tiếp chắn cung `OB`

`-> \hat(OBA)=\hat(OHB)` (Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Hay `\hat(OBI)=\hat(OHB)`

Xét `\triangle OBI` và `\triangleOHB` có:

`\hat(O)` chung

`\hat(OBI)=\hat(OHB)` (cmt)

`-> \triangle OBI` $\backsim$ `\triangle OHB\ (g-g)`

`-> (OI)/(OB)=(OB)/(OH)`

`-> OI=(OB^2)/(OH)=(R^2)/(OH)`

Mà `(d)` cố định

`-> OH\bot(d)` cố định

`-> OI=(R^2)/(OH)` không đổi khi `K` di động trên `(d)`

`-> I` là điểm cố định khi `K` di động trên `(d)`

`c)`

Gọi `OKnnAB=D`

`KA;KB` là tiếp tuyến

`OA=OB=R`

`-> OK` là trung trực `AB`

`-> OK\botAB` tại `D`

Xét `\triangle OAK` vuông tại `A` có `AD` là đường cao:

`OA^2=OD*OK` (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

`-> OD=(OA^2)/(OK)=(R^2)/(2R)=R/2`

`-> DK=OK-OD=2R-R/2=(3R)/2`

`AD^2=OD*DK` (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

`-> AD^2=R/2*(3R)/2=(3R^2)/4`

`-> AD=(R\sqrt(3))/2`

Xét `\triangle ODI` vuông tại `D` có:

`OI^2=OD^2+DI^2` (Pythagore)

`-> DI^2=OI^2-OD^2`

`-> DI^2=((R^2)/(OH))^2-(R/2)^2`

`-> DI^2=((R^2)/(R\sqrt(3)))^2-(R/2)^2`

`-> DI^2=(R/(\sqrt(3)))^2-(R/2)^2`

`-> DI^2=(R^2)/12`

`-> DI=(R\sqrt(3))/6`

`-> AI=AD+DI=(R\sqrt(3))/2+(R\sqrt(3))/6=(2R\sqrt(3))/3`

`S_(\triangleKAI)=1/2*AI*DK=1/2*(2R\sqrt(3))/3*(3R)/2=(R^2\sqrt(3))/2`