Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Gọi K là trung điểm BC.

a) Chứng minh ∆AEF đồng dạng ∆ABC

b) Chứng minh đường thằng OA vuông góc với đường thẳng EF.

c) Đường phân giác góc FHB cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Gọi I là trung điểm của MN, J là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác AFHI nội tiếp và ba điểm I,J,K thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a.Vì $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp

$\to \widehat{AEF}=\widehat{FBC}=\widehat{ABC}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(g.g)$

b.Kẻ tiếp tuyến $At$ của $(O)$

$\to \widehat{tAB}=\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$

$\to At//EF$

$\to OA\perp EF$ vì $OA\perp At$

c.Ta có: $\widehat{AMI}=\widehat{HMF}=90^o-\widehat{FHM}=90^o-\widehat{EHN}=\widehat{HNE}=\widehat{ANM}$

             $I$ là trung điểm $MN$

$\to AI\perp MN$

$\to \widehat{AIH}=\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEIHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$
$\to AFHI$ nội tiếp

Kẻ đường kính $AT$ của $(O)$

$\to \widehat{ABT}=\widehat{ACT}=90^o$

$\to BT\perp AB, CT\perp AC$

$\to BHCT$ là hình bình hành

$\to HT\cap CB$ tại trung điểm mỗi đường

Do $K$ là trung điểm $BC$

$\to K$ là trung điểm $HT$

$\to KJ$ là đường trung bình $\Delta AHT$

$\to KJ//AT$

Ta có: $\Delta AMN$ cân tại $A, AI\perp MN$

$\to AI$ là phân giác $\hat A$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{FAE}$
$\to JI\perp EF$

$\to IJ//AO$

$\to J, I, K$ thẳng hàng