Ta có thể viết lại mỗi số hạng như sau: 2n(n+2)=1n−1n+2n(n+2)2​=n1​−n+21​ Áp dụng vào tổng A, ta có: A=(11−13)+(13−15)+(15−17)+...+(12021−12023)A=(11​−31​)+(31​−51​)+(51​−71​)+...+(20211​−20231​) Đây là một tổng telescoping, nghĩa là các số hạng giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Kết quả là: A=1−12023=2023−12023=20222023A=1−20231​=20232023−1​=20232022​

b) Tính tổng B=12.5+15.8+18.11+...+192.95.98B=2.51​+5.81​+8.111​+...+92.95.981​

Có vẻ như có một lỗi đánh máy ở mẫu số của số hạng cuối cùng. Giả sử số hạng cuối cùng là 192.9592.951​, ta có thể viết lại mỗi số hạng như sau: 1n(n+3)=13(1n−1n+3)n(n+3)1​=31​(n1​−n+31​) Áp dụng vào tổng B, ta có: B=13[(12−15)+(15−18)+(18−111)+...+(192−195)]B=31​[(21​−51​)+(51​−81​)+(81​−111​)+...+(921​−951​)] Đây là một tổng telescoping, và ta có: B=13(12−195)=13(95−22.95)=13(93190)=31190B=31​(21​−951​)=31​(2.9595−2​)=31​(19093​)=19031​ Nếu số hạng cuối cùng là 192.95.9892.95.981​, thì cần thêm thông tin để giải quyết.

c) Tính tổng C=18+124+148+...+19800C=81​+241​+481​+...+98001​

Ta nhận thấy các mẫu số có dạng n(n+1)n(n+1): 8=2⋅4,24=4⋅6,48=6⋅8,...,9800=98⋅1008=2⋅4,24=4⋅6,48=6⋅8,...,9800=98⋅100 Vậy tổng C có thể viết lại như sau: C=12.4+14.6+16.8+...+198.100C=2.41​+4.61​+6.81​+...+98.1001​ Ta có thể viết lại mỗi số hạng như sau: 1n(n+2)=12(1n−1n+2)n(n+2)1​=21​(n1​−n+21​) Áp dụng vào tổng C, ta có: C=12[(12−14)+(14−16)+(16−18)+...+(198−1100)]C=21​[(21​−41​)+(41​−61​)+(61​−81​)+...+(981​−1001​)] Đây là một tổng telescoping, và ta có: C=12(12−1100)=12(50−1100)=12(49100)=49200C=21​(21​−1001​)=21​(10050−1​)=21​(10049​)=20049​

d) Tính tổng D=215+235+263+...+2399D=152​+352​+632​+...+3992​

Ta nhận thấy các mẫu số có dạng n(n+2)n(n+2): 15=3⋅5,35=5⋅7,63=7⋅9,...,399=19⋅2115=3⋅5,35=5⋅7,63=7⋅9,...,399=19⋅21 Vậy tổng D có thể viết lại như sau: D=23.5+25.7+27.9+...+219.21D=3.52​+5.72​+7.92​+...+19.212​ Ta có thể viết lại mỗi số hạng như sau: 2n(n+2)=1n−1n+2n(n+2)2​=n1​−n+21​ Áp dụng vào tổng D, ta có: D=(13−15)+(15−17)+(17−19)+...+(119−121)D=(31​−51​)+(51​−71​)+(71​−91​)+...+(191​−211​) Đây là một tổng telescoping, và ta có: D=13−121=7−121=621=27D=31​−211​=217−1​=216​=72​