Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BEH}=\widehat{BDH}=90^o$

$\to BEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HB$

Vì $AM$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ACM}=90^o$

Xét $\Delta AEH,\Delta ACM$  có:

$\widehat{AEH}=\widehat{ACM}=90^o$

$\widehat{AHE}=\widehat{EBD}=\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$

$\to \Delta AHE\sim\Delta AMC(g.g)$

b.Vì $AM$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ABM}=\widehat{ACM}=90^o$

$\to MB//HC, MC//HB$

$\to BHCM$ là hình bình hành

$\to HM\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường 

Vì $I$ là trung điểm $HM$

$\to I$ là trung điểm $BC$

$\to B, I, C$ thẳng hàng

Xét $\Delta IBN,\Delta ICM$ có:
$\widehat{NIB}=\widehat{MIC}$

$\widehat{INB}=\widehat{MNB}=\widehat{BCM}=\widehat{ICM}$

$\to \Delta INB\sim\Delta ICM(g.g)$

$\to \dfrac{IN}{IC}=\dfrac{IB}{IM}$

$\to IN.IM=IB.IC$

$\to IN.IH=\dfrac12BC.\dfrac12BC$

$\to BC^2=4IH.IN$

c.Ta có: $I, O$ là trung điểm $HM, MA$

$\to OI$ là đường trung bình $\Delta AHM$

$\to AH=2OI$

Ta có:

$\widehat{BOI}=\dfrac12\widehat{BOC}=\widehat{BAC}=60^o$

$\to \cos\widehat{BOI}=\dfrac{OI}{OB}$

$\to OI=\dfrac12OB=\dfrac12R$

$\to AH=R$