Đáp án: $M$ là trung điểm $AC$ 

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$AB=BC=CD=DA=\sqrt{2025}=45$

$AC=BD=45\sqrt2$

Đặt $AE=x, (x>0)$

Vì $ABCD$ là hình vuông

$\to AC$ là phân giác $\hat A, \hat C$

$\to \widehat{MAE}=\widehat{MCF}=45^o$

Do $ME\perp BA, MF\perp BC$

$\to \Delta AME,\Delta BMF$ vuông cân tại $E, F$

$\to EA=EM=x, FC=FM=BE=AB-AE=45-x$

       $MC=MF\sqrt2=(45-x)\sqrt2$

        $BF=ME=x$

Ta có:

$S_{DEF}$

$=S_{ABCD}-S_{DAE}-S_{DCF}-S_{BEF}$

$=2025-\dfrac12\cdot 25\cdot x-\dfrac12\cdot 25\cdot (25-x)-\dfrac12\cdot x\cdot (25-x)$

$=\dfrac{x^2-25x+3425}{2}$

$=\dfrac12\left(x-\dfrac{25}{2}\right)^2+\dfrac{13075}{8}$

$\ge \dfrac{13075}{8}$

Dấu = xảy ra khi $x-\dfrac{25}2=0$

$\to x=\dfrac{25}2$

$\to AE=\dfrac12AB$

$\to E$ là trung điểm $AB$

$\to M$ là trung điểm $AC$