`\Delta: 5x-2y-1=0` và `\Delta': -x+y+3=0` , `A(1;4)`

a) Ta có: `5/(-1) \ne (-2)/1` => `\Delta` cắt `\Delta'`.

b) `d(A,\Delta)=(\abs(5.1-2.4-1))/(\sqrt(5^2+2^2))=4/(\sqrt(29))`.

c) Ta có:

- Vecto pháp tuyến của `\Delta` là: `vec{n_(\Delta)}=(5;-2)`

- Vecto pháp tuyến của `\Delta'` là: `vec{n_(\Delta')}=(-1;1)`

Khi đó: `cos(\hat(\Delta,\Delta'))=\abs(cos(vec{n_(\Delta)},vec{n_(\Delta')}))`.

`=(\abs(5.(-1)-2.1))/(\sqrt(5^2+2^2).\sqrt(1^2+1^2))=7/(\sqrt(58))`.

d) Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với `\Delta`.

- Vecto chỉ phương của `\Delta` là: `u_(\Delta)=(2;5)`

Do d vuông góc `\Delta` nên vecto pháp tuyến của d là một vecto chỉ phương của `\Delta`.

=>Vecto pháp tuyến của d là: `u_d=(2;5)`.

Vậy phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với `\Delta` là:

`(d): 2(x-1)+5(y-4)=0 <=>2x+5y=22`.

f) Xét đường tròn (C) có tâm A và đi qua B(2;3).

`=>(C): (x-1)^2+(y-4)^2 = R^2` , với R là bán kính của (C).

Thay `x=2`, `y=3` vào phương trình trên, ta được:

`R^2=(2-1)^2+(3-4)^2=2`.

Vậy phương trình đường tròn có tâm A và đi qua B(2;3) là:

`(C): (x-1)^2+(y-4)^2=2 <=>x^2-2x+y^2-8y+15=0`.

g) Xét đường tròn (C') có tâm A và tiếp xúc với `\Delta`.

`=>(C'): (x-1)^2+(y-4)^2 = R^2` (1) , với R là bán kính của (C').

Gọi `D(x_0,y_0)` là tiếp điểm của (C') với `\Delta`. Khi đó AD vuông góc với `\Delta`, do đó `vec{AD}=(x_0-1;y_0-4)` là một vecto pháp tuyến của `\Delta`.

Mà `(5;-2)` là một vecto pháp tuyến của `\Delta`, nên:

`(x_0-1)/5 = (y_0-4)/(-2)`.

Ta có: `D(x_0,y_0)` thuộc `\Delta: 5x-2y-1=0`, nên:

`5x_0-2y_0-1=0 <=>5(x_0-1)-2(y_0-4)=4`.

Như vậy: `(x_0-1)/5 = (y_0-4)/(-2) = (5(x_0-1)-2(y_0-4))/(5.5-2.(-2))=4/29`.

`=>x_0=49/29` ; `y_0=108/29`.

 Thay `x=49/29` ; `y=108/29` vào (1), ta được:

`R^2= (49/29 - 1)^2 + (108/29 - 4)^2=16/29`.

`=>(C'): (x-1)^2+(y-4)^2 = 16/29`