Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

b.Ta có: $BCEF$ nội tiếp

$\to \widehat{AFE}=\widehat{ECB}=\widehat{ACB}$

Tương tự: $\widehat{BFK}=\widehat{ACB}$

$\to \widehat{AFE}=\widehat{BFK}$

$\to 90^o-\widehat{AFE}=90^o-\widehat{BFK}$

$\to \widehat{HFE}=\widehat{HFK}$

$\to FH$ là phân giác $\widehat{KFE}$

Do $FH\perp FA$

$\to FA$ là phân giác ngoài tại $F$ của $\Delta FIK$

Ta có:

$\widehat{AEB}=\widehat{AKB}=90^o$

$\to AEKB$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

$\to \widehat{BAK}=\widehat{BEK}$

$\to \widehat{FAK}=\widehat{HEK}$

Mà $\widehat{BFH}=\widehat{BKH}=90^o$

$\to BFHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $HB$

$\to \widehat{FKA}=\widehat{FKH}=\widehat{FBH}=\widehat{ABE}=\widehat{AKE}=\widehat{HKE}$

$\to \Delta AFK\sim\Delta EHK(g.g)$

$\to \dfrac{EK}{AK}=\dfrac{HK}{FK}$

$\to \dfrac{EK}{HK}=\dfrac{AK}{FK}$

$\dfrac{AI}{AK}=\dfrac{FI}{FK}\to \dfrac{AI}{FI}=\dfrac{AK}{FK}$

 Ta có:

$\widehat{HKE}=\widehat{AKF},\widehat{HEK}=\widehat{KAF}$ 

$\to \Delta KHE\sim\Delta KFA(g.g)$

$\to \dfrac{AK}{KE}=\dfrac{KF}{KH}$

$\to \dfrac{AK}{FK}=\dfrac{EK}{KH}$

$\to \dfrac{AI}{FI}=\dfrac{EK}{HK}$

$\to AI.HK=FI.EK$