a)

Vì t/g ABC cân tại A nên AB=AC ; ∠B=∠C

Xét t/g AHB và AHC có: chung cạnh AH ; AB=AC(cmtr) ; 2 góc ở H vuông ( AH là đường cao ứng với BC)

-> 2 t/g bằng nhau ( cạnh huyền - cạnh góc vuông) (đpcm)

b)

Ta có: MB=MN (gt) nên M là trung điểm BN

-> CM là đường trung tuyến của t/g BCN

Mà CI=2/3 CM nên I là trọng tâm tam giác BCN

-> NI là đường trung tuyến -> ứng với cạnh đối diện đỉnh N là BC

Từ 2 t/g chứng minh ở (a) -> HB=HC (cạnh tương ứng) -> H là trung điểm BC

-> HN là đường trung tuyến của t/g BCN 

-> HN và NI là đường trung tuyến của t/g BCN mà HN và NI có chung đỉnh N

-> N, H, I thẳng hàng (đpcm)

c)

Vì AH vuông với BC (gt) và H là trung điểm BC (cmtr) nên HA là đường trung trực của BC

-> M nằm trên HA nên HM là  đường trung trực của t/g BC

-> t/g BMC cân tại M

-> MB=MC

Mà MB=MN nên MB+MN = MB+MC = BN

Vì M là trung điểm AH (gt) nên AH = MA+MH = 2MA=2MH

-> Xét t/g AMB có: MA+MB > AB ( bất đẳng thức trong t/g )

Tương tự với t/g AMC -> MA+MC > AC

-> MA+MB+MA+MC > AB+AC

-> (MB+MC)+(MA+MA) > AB+AC

-> (MB+MN)+ 2MA > AB+AC ( cmtr)

-> BN+ AH > AB+AC (cmtr) (đpcm)

:D :)