Gọi tâm đường tròn đường kinh `AB` là `O`

Xét `(O)` có:

`\hat(BNA)=\hat(BMA)=90^o` (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`-> \hat(AME)=\hat(BMK)=\hat(ANK)=90^o`

`BE` là phân giác `\hat(ABC)`

`-> \hat(ABE)=\hat(EBC)=\hat(MBK)`

Có:

`\hat(ABE)+\hat(AEB)=90^o` (`\triangleABE` vuông tại `A`)

`\hat(MBK)+\hat(MKB)=90^o` (`\triangle MBK` vuông tại `M`)

`-> \hat(AEB)=\hat(MKB)` (Cùng phụ hai góc bằng nhau)

Hay `\hat(AEM)=\hat(AKN)`

Xét `\triangleANK` và `\triangle AME` có:

`\hat(AME)=\hat(ANK)=90^o`

`\hat(AEM)=\hat(AKN)` (cmt)

`-> \triangle ANK` $\backsim$ `\triangle AME\ (g-g)`

`-> (AE)/(AK)=(AM)/(AN)`

`-> AE*AN=AM*AK`