$\textbf{Đề bài:}$ Cho tam giác \( DEF \) cân tại \( D \). Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( DF \) và \( DE \). Kẻ \( DH \) vuông góc với \( EF \).
$\\$
$\textbf{a. Chứng minh: \( EM = FN \) và \( \angle DEM = \angle DFN \)}$ $\\$
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( DF \) và \( DE \), ta có:
\[
DM = MF \quad \text{và} \quad DN = NE
\]
- \( DH \) là đường vuông góc với \( EF \), nên \( DH \perp EF \). $\\$
- Do \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( DF \) và \( DE \), nên ta có:
\[
DM = MF \quad \text{và} \quad DN = NE
\]
- Xét tam giác vuông \( DEM \) và tam giác vuông \( DFN \). $\\$
+ Vì \( DH \perp EF \), ta có:
  \[
  \angle DEM = \angle DFN = 90^\circ (1)
  \] 
+ Vì \( DE = DF \) (do tam giác \( DEF \) là tam giác cân tại \( D \)) kết hợp cùng `(1):`
\[
\triangle DEM = \triangle DFN
\]
(Theo định lý cạnh-góc-cạnh (góc vuông tại \( H \), cạnh \( DE = DF \), cạnh \( DM = DN \))).
$\\$
- Do đó, từ tính chất `2` tam giác bằng nhau, ta suy ra rằng:
\[EM = FN\]
$\text {và: }$ \[\angle DEM = \angle DFN\]
  
$\textbf{b. Gọi giao điểm của \( EM \) và \( FN \) là \( K \). Chứng minh rằng \( KE = KF \)}$ $\\$
- Các đoạn thẳng \( EM \) và \( FN \) có độ dài bằng nhau vì \( EM = FN \) (theo câu a). $\\$
- Điểm \( K \) là giao điểm của \( EM \) và \( FN \), điều này có nghĩa là \( K \) chia đoạn \( EM \) và đoạn \( FN \) thành các đoạn có độ dài bằng nhau. $\\$
- Vì vậy, ta có:
\[
KE = KF
\]
$\\$
$\textbf{c. Chứng minh \( EM \), \( FN \), \( DH \) đồng quy}$ $\\$
- Do tam giác \( DEF \) là tam giác cân tại \( D \), ta có \( DE = DF \). $\\$
- Các đoạn thẳng \( EM \) và \( FN \) đều xuất phát từ đỉnh E và F đến các trung điểm \( M \) và \( N \) của các cạnh \( DF \) và \( DE \), do đó \( EM\) và \(FN\) là hai đường trung tuyến của tam giác \( DEF \). $\\$
- Mặt khác, vì \( DH \perp EF \), ta biết rằng \( DH \) là đường vuông góc từ đỉnh \( D \) đến cạnh \( EF \), mà tam giác \( DEF \) là tam giác ân. $\\$
$\Rightarrow$ \(DH\) là vừa là đường cao vừa là trung tuyến của tam giác \( DEF \).$\\$

`3` đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm, mà tam giác \( DEF \) có EM và FN cắt nhau tại \(K\). $\\$
$\Rightarrow$ Ba đường thẳng này đồng quy tại \( K \). $\\$

Vậy \( EM \), \( FN \), và \( DH \) đồng quy tại \( K \).