a.Vì $BC$ là đường kính của $(O)\to BD\perp DC, BE\perp EC$

$\to \widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o$

$\to AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Vì $BD\cap CE=H\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp BC=I$

Xét $\Delta BEC,\Delta BAI$ có:

chung $\hat B$

$\hat E=\hat I(=90^o)$

$\to\Delta BEC\sim\Delta BIA(g.g)$

$\to \dfrac{BE}{BI}=\dfrac{BC}{BA}$

$\to BA\cdot BE=BI\cdot BC$

Tương tự $CI\cdot CB=CD\cdot CA$

$\to BE\cdot BA+CD\cdot CA=BI\cdot BC+CI\cdot BC=BC^2$

 c.Gọi $AI\cap DE=F$

Ta có:

$\widehat{HEB}=\widehat{HIB}=90^o$

$\to HIBE$ nội tiếp đường tròn đường kính $HB$

$\to \widehat{HEI}=\widehat{HBI}=\widehat{DBC}=\widehat{DEC}$

$\to EC$ là phân giác $\widehat{DEI}$

Mà $EA\perp EH$

$\to EH, EA$ là phân giác trong và ngoài tại $E$ của $\Delta EFI$

$\to \dfrac{AF}{AI}=\dfrac{HF}{HI}$

Ta có: $DE//MN$

$\to \dfrac{EF}{IM}=\dfrac{AF}{AI}=\dfrac{HF}{HI}=\dfrac{EF}{IN}$
$\to IM=IN$