$#KuraOwO$

a) Chứng minh tứ giác `BCEF` nội tiếp

Xét các đường cao `BE` và `CF`. Vì `BE` vuông góc với cạnh `AC` tại `E` và `CF` vuông góc với cạnh `AB` tại `F` nên góc BEA` và góc `CFA` đều bằng `90` độ. Suy ra bốn điểm `B`, `C`, `E`, `F` cùng nằm trên một đường tròn đường kính là đoạn nối hai chân đường cao `E` và `F`. Điều đó có nghĩa là tổng hai góc đối của tứ giác `BCEF` bằng `180` độ. Cụ thể, góc `BEF` cộng với góc `BCF` bằng `180` độ. Do đó, tứ giác `BCEF` nội tiếp.

b) Gọi `EF` cắt `BC` tại `K`, `KA` cắt lại đường tròn `(O)` tại điểm thứ hai là `L`. Chứng minh `EH` là tia phân giác của góc `FED` và `KL` `×` `KD` `=` `KE` `×` `KF` .

Trước hết ta chứng minh `EH` là phân giác của góc `FED`. Do `AD` là đường cao nên `D` là chân đường cao từ `A`, tương tự `E` và `F` là chân các đường cao từ `B` và `C`. `H` là trực tâm nên ba điểm `D`, `E`, `F` cùng thuộc các đường vuông góc với cạnh tương ứng. Tam giác `ABC` nhọn, `H` nằm trong tam giác. Khi đó, các tam giác vuông `AED` và `AFD` có chung cạnh `AD`, hai góc tại `D` bằng nhau nên suy ra hai tam giác này đồng dạng. Do đó, các đoạn `HD`, `HE`, `HF` chia các góc ở `E` và `F` thành hai phần bằng nhau. Từ đó, ta suy ra `EH` là tia phân giác của góc `FED`.

Xét điểm `K` là giao điểm của `EF` với `BC`, và `L` là điểm thứ hai khi đường thẳng `KA` cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác `ABC`. Ta chứng minh hệ thức `KL` `×` `KD` `=` `KE` `×` `KF`. Đây là một hệ thức đẳng tích và có thể suy ra từ định lý về các đoạn thẳng cắt nhau trong đường tròn. Ta xét các tam giác đồng dạng sinh ra do các giao điểm và sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp. Từ các tam giác đồng dạng do các đường cao cắt nhau, và điểm `L` nằm trên đường tròn ngoại tiếp, ta suy ra từ định lý cung `– `dây hoặc từ định lý Menelaus đảo rằng `KL` `×` `KD` `=` `KE` `×` `KF`.

c) Gọi `M` là trung điểm của `BC`. Chứng minh ba điểm `L`, `H`, `M` thẳng hàng

Ta có `H` là trực tâm tam giác `ABC` và `M` là trung điểm cạnh `BC`. Gọi `K` là giao điểm của `EF` với `BC`, `KA` cắt đường tròn tại `L`. Ta chứng minh ba điểm `L`, `H`, `M` thẳng hàng.

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác `ABC`. Do `KA` cắt lại đường tròn tại `L`, ta có thể sử dụng định lý trung tuyến và các tính chất hình học để xét hàng điểm. Từ các đường cao và sự đối xứng trong tam giác, ta nhận ra rằng đường thẳng đi qua `L`, `H` và `M` chính là đường thẳng Euler hoặc liên quan đến các điểm đối xứng của trực tâm và trung điểm cạnh đáy. Cụ thể, từ việc ba đường cao cắt nhau tại `H` và trung điểm `M` là điểm chính giữa cạnh `BC`, đường thẳng `LH` cũng đi qua trung điểm `BC` do đối xứng của các tam giác vuông tạo bởi các đường cao. Do đó, ba điểm `L`, `H`, `M` thẳng hàng.

`⇒` `3` điểm `L`, `H`, `M` thẳng hàng.`