BĐT Cauchy cho `3` số không âm: 

`(x+y+z)/3>=\root{3}{xyz} (x,y,z>=0)`

Đặt `a=\root{3}{x}, b=\root{3}{y}, c=\root{3}{z}\ (a,b,c>=0)`

`-> a^3=x, b^3=y, c^3=z`

BĐT cần chứng minh trở thành:

`(a^3+b^3+c^3)/3>=abc`

`a^3+b^3+c^3>=3abc`

`a^3+b^3+c^3-3abc>=0`

`(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc>=0`

`(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)>=0`

`(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)>=0`

`(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)>=0`

`(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)>=0`

`(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)>=0`

`(a+b+c)(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2)>=0`

`(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0` (Luôn đúng vì `a,b,c>=0`)

`->` ĐPCM

__

Dấu "`=`" xảy ra khi `{(a-b=0),(b-c=0),(c-a=0):}-> a=b=c -> x=y=z`