Đáp án: $\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$

Giải thích các bước giải:

Vì $ABCD$ là hình vuông

$\to AC\perp BD$

Gọi $AC\cap DB=O$

$\to DO\perp AC$

Ta có: $SH\perp (ABCD)$

$\to SH\perp DO$

$\to DO\perp (SAC)$

$\to d(D, SAC)=DO$

$\to DO=\sqrt2$

Ta có: $3HA=HC$

$\to \dfrac{HA}1=\dfrac{HC}3=\dfrac{HA+HC}{1+3}=\dfrac{AC}4=\dfrac{AO}2$

$\to H$ là trung điểm $OA$

Gọi $E$ là trung điểm $OB$

$\to HE$ là đường trung bình $\Delta OAB$

$\to HE//AB, HE=\dfrac12AB$

$\to HE//CD, HE=\dfrac12CD$

$\to HE//CJ, HE=CJ$ vì $J$ là trung điểm $CD$

$\to HECJ$ là hình bình hành 

$\to HJ//EC$

Mà $HE//AB, AB\perp BC\to HE\perp BC, BO\perp AC\to BE\perp HC$

$\to E$ là trực tâm $\Delta BHC$

$\to CE\perp HB$

$\to HJ\perp HB$

Lại có: $SH\perp ABCD$

$\to SH\perp HJ,SH\perp HB$

$\to HJ\perp SBD$

$\to \widehat{HSJ}=45^o$

$\to \Delta HSJ$ vuông cân tại $H$

Ta có:

$OC=OD=\sqrt2, OE=\dfrac12OB=\dfrac{\sqrt2}2$

$\to CE=\sqrt{OE^2+OC^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt2}2)^2+(\sqrt2)^2}=\dfrac{\sqrt{10}}2$

$\to HJ=CE=\dfrac{\sqrt{10}}2$

$\to SH=\dfrac{\sqrt{10}}2$

Ta có: $AC=BD=2OD=2\sqrt2$

$\to V_{SABCD}=\dfrac13\cdot \dfrac{\sqrt{10}}2\cdot \dfrac12\cdot (2\sqrt2)^2=\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$