`\color{#c7c1ed}text{𓏧⛧}\color{#cdc2ed}text{⊹‧₊}\color{#d1c3ee}text{️𐙚}\color{#d6c4ee}text{𓆰৳R}\color{#dfc4ed}text{i}\color{#f2c5ee}text{ʚɞ}\color{#fecbe9}text{𓆪⋆}\color{#feb5c8}text{˖≼}\color{#feabb9}text{𓍯𓂃}`

`a)`

`ΔABC` vuông tại `A ⇒ ∠B + ∠C < 90°, AB < AC ⇒ ∠B > ∠C`

`ΔBHA` và `ΔBAC:`

`∠BHA = ∠BAC = 90^@`

`∠HBA = ∠CBA` (chung)

`⇒ ΔBHA ∼ ΔBAC (g.g)`

`⇒ (BH)/(BA) = (BA)/(BC)`

`⇒ BA^2 = BH·BC`

`b)`

Tứ giác `BICK` có:

`BK ⊥ CI` tại `K ⇒ ∠BKC = 90^@`

`AH ⊥ BC` tại `H ⇒ ∠CHB = 90^@`

`⇒ ∠BKC = ∠CHB = 90^@`

`⇒` Tứ giác `BICK` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`

Trong tam giác vuông có đường cao:

`ΔCHB` vuông tại `H ⇒ CH·CB = CI·CK` (tính chất đường cao trong tam giác vuông nội tiếp đường tròn)

`c)`

Hai góc này nằm trong tam giác có giao điểm tại `D.`

Ta có:

`∠BHK` là góc giữa `BH` và `HK`

`∠BDC ` là góc giữa `DB` và `DC`

Do `BK ⊥ CI` và `D ∈ HA ⇒ ` hai tam giác có hình chiếu tương ứng qua các đường vuông góc, và các đường thẳng song song tạo góc bằng nhau

`⇒ ∠BHK = ∠BDC`

`d)`

Giả sử vẽ hình:

`BM = BA`

Xét tam giác `BMD` với `BM = BA`, biết `∠BAH = 90^@`, `BA` vuông góc với `AC`

`→` Cần biết thêm các cạnh hoặc góc phụ, tuy nhiên do `M` nằm trên tia đối của `KC`, ta có:

Tứ giác `MBAD` có:

`BA = BM`

`∠MBA = ∠ABD`

(Do hai đoạn này tạo nên hình đối xứng qua đường phân giác hay vuông góc tại `B)`

Dựa trên cách dựng và tính chất tam giác cân:

`⇒ ∠BMD = 90^@`