Gọi độ dài đoạn dây làm hình tròn là `x(cm) ( 0<x< 160)`

`=>` độ dài đoạn dây làm hình vuông là `160-x(cm)`

Ta có chu vi hình tròn là:

`2pi R = x => R = x/(2pi)`

Diện tích hình tròn là:

`pi R^2 = pi . (x/(2pi))^2 = x^2/(4pi)`

Chu vi hình vuông là:

`4d = 160-x => d = (160-x)/4`

Diện tích hình vuông là:

`d^2 = ((160-x)/4)^2 = (160-x)^2/16`

`=>` Tổng diện tích là:`x^2/(4pi) + (160-x)^2/16`

Xét `f(x)=x^2/(4pi) + (160-x)^2/16`

`f'(x) = x/(2pi) + (x-160)/8`

`f'(x) = 0 <=> x/(2pi) + (x-160)/8 =0`

`=>8x+2pix - 320pi =0`

`<=>x(8+2pi) = 320pi`

`=>x = (320pi)/(8+2pi)`

`=>x = (160pi)/(4+pi)(tm)`

Ta có bảng biên thiên:

\begin{array}{|c|cc|} \hline x&-\infty&&\dfrac{160\pi}{4+\pi}&&\infty\\\hline y'&&-&0&+&\\\hline &+\infty&&&&+\infty\\y&&\searrow&&\nearrow&\\&&&f(\dfrac{160\pi}{4+\pi})\\\hline\end{array}

Vậy diện tích nhỏ nhất là `f((160pi)/(4+pi)) ≈896 cm^2`