Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AHB,\Delta AHC$ có:

Chung $AH$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$AB=AC$

$\to \Delta AHB=\Delta AHC$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\to HB=HC, \widehat{HAB}=\widehat{HAC}$

$\to H$ là trung điểm $BC$

b.Từ a $\to \widehat{HAB}=\widehat{HAC}$

$\to \widehat{HAM}=\widehat{HAN}$

Mà $\hat M=\hat N(=90^o)$

$\to \Delta AHM=\Delta AHN$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AM=AN$

$\to \Delta AMN$ cân tại $A$

c.Từ b $\to HM=HN$

Xét $\Delta HMB,\Delta HPB$ có:

Chung $HB$

$\widehat{MHB}=90^o-\hat B=90^o-\hat C=\widehat{NHC}=\widehat{BHP}$

$HM=HP(=HN)$

$\to \Delta HBM=\Delta HBP(c.g.c)$

$\to BM=BP, HM=HP$

$\to B, H\in$ trung trực $MP$

$\to HB$ là trung trực $MP$

$\to CB$ là trung trực $MP$

d.Vì $HB$ là trung trực $MP$

$\to HB\perp MP=K$ là trung điểm $MP$

Tương tự $AH$ là trung trực $MN$

Gọi $AH\cap MN=E\to E$ là trung điểm $BM$

Ta có: $MH\cap NK=D$

$\to D$ là trọng tâm $\Delta MNP$

$\to P, D, E$ thẳng hàng

$\to AH, MN, DP$ cùng đi qua một điểm