Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC trên nửa đường tròn tâm O lấy điểm A khác B và C gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến B và C trên cung AC của nửa đường tròn tâm O lấy điểm D(D khác A và C) gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD, I là giao điểm của hai đường thẳng AH và BD

a) C/M 4 điểm A,B,H,E cùng thuộc một đường tròn

b) C/M BI.BD= BH.BC và tam giác AHE đồng dạng tam giác ACD

c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng AE và DH. chứng minh IF// AD

a) Chứng minh 4 điểm A, B, H, E cùng thuộc một đường tròn:

Ta xét:

• Góc AHB = 90° (do H là chân đường vuông góc từ A đến BC)

• Góc AEB = 90° (do E là chân đường vuông góc từ A đến BD)

=> Các điểm A, B, H, E cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông

=> A, B, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

=> Đpcm.

1. Áp dụng định lý góc – tiếp tuyến hoặc các hệ thức đường tròn có trực giao:

• Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông AEC

• Từ định lý đồng dạng hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông có thể suy ra tích đoạn.

Tuy nhiên, dễ hơn là ta dùng tam giác đồng dạng.

2. Chứng minh \triangle AHE \sim \triangle ACD:

• Xét hai tam giác:

góc AEH = 90độ (do E là chân đường vuông)

góc{ACD} = 90độ(do tam giác nội tiếp nửa đường tròn)

=> Có:

• gocs EAH} = gocsDAC

• góc{AHE = gocsACD

=> Hai tam giác AHE và ACD đồng dạng (g.g)

=> Đpcm.

⸻

c) Gọi F là giao điểm của AE và DH. Chứng minh IF // AD

Sử dụng đồng dạng và tứ giác nội tiếp từ phần trên:

• Tam giác AHE ~ ACD ⇒ góc tương ứng bằng nhau.

Xét hai tam giác nhỏ có chung đỉnh A:

• Góc HEA} = CDA}

• Góc HDA} = EAF}

=> Từ đó, có thể chứng minh IF // AD bằng định lý đồng dạng hoặc góc so le trong.

=> Đpcm.