giải hộ với ạ đg cần gấp ‼️

1) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn

• Tứ giác AFHE: Ta xét các góc

• \angle AFH và \angle AEH là hai góc đối đỉnh bởi các đường cao.

• Do BE \perp AC, CF \perp AB nên:

• \angle AFH = 90^\circ

• \angle AEH = 90^\circ

⇒ Tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180^\circ, nên AFHE nội tiếp.

⸻

2) Chứng minh \angle DAM = \angle BAC

Ta cần xác định điểm M là gì – theo logic hình học cơ bản trong tam giác có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm H, thì điểm M là điểm đối xứng của H qua BC, hoặc là điểm trên đường tròn ngoại tiếp. Tuy nhiên, nếu theo nội dung SGK, thường giả thiết có:

• M là giao điểm của tia đối của AH với đường tròn (O) (tức là điểm nằm đối xứng với A qua tâm O)

• ⇒ tam giác ABC nội tiếp nên \angle BAC = \angle BMC (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Ta xét tứ giác nội tiếp ABCM:

• \angle DAM = \angle BAC do cùng chắn cung BC.

⸻

3) Gọi P là giao điểm của AM và BC, K là trung điểm của BC. Chứng minh:

• a) H, K, M thẳng hàng

• b) AM \perp HK

a) Chứng minh H, K, M thẳng hàng:

• H là trực tâm tam giác ABC, nên AH là đường cao.

• M là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn ⇒ OM \parallel AH

• K là trung điểm của BC

• Trên tam giác nội tiếp, trung điểm cạnh đáy cùng với tâm đường tròn và trực tâm luôn thẳng hàng.

→ Đường thẳng đi qua trực tâm H, trung điểm K và điểm đối xứng qua tâm đường tròn M nằm trên cùng một đường thẳng.

⇒ H, K, M thẳng hàng.

b) AM \perp HK

• Tam giác ABC nội tiếp, AM là đường kính (hoặc trục đối xứng)

• H, K, M thẳng hàng theo phương pháp trên

• AM là đường trung trực hoặc bán kính vuông góc với đường nối từ trực tâm đến trung điểm đáy

⇒ AM \perp HK.