4.

a)

xét tam giác `GKC` có:

`hat(GKC)=90^o(g t)`

suy ra `\Delta GKC` nội tiếp đường tròn đường kính `GC`

suy ra `3` điểm `G,K,C` thuộc đường tròn đường kính `GC(1)`

xét tam giác `GHC` có:

`hat(GHC)=90^o(g t)`

suy ra `\Delta GHC` nội tiếp đường tròn đường kính `GC`

suy ra `3` điểm `G,H,C` thuộc đường tròn đường kính `GC(2)`

`(1),(2)` suy ra `4` điểm `K,G,H,C` cùng thuộc đường tròn đường kính `GC`

suy ra tứ giác `KGHC` là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính `GC`

b)

ta có `hat(ADB)=90^o(` góc nội tiếp chắn nửa đường tròn `)`

xét `\Delta AHD` và `\Delta ADB` có:

`hat(AHD)=hat(ADB)(=90^o;g t)`

`hat(ADH)=hat(ABD)(` cùng phụ `hat(DAB))`

suy ra `\Delta AHD ~ \Delta ADB (g.g)`

suy ra `(AH)/(AD)=(AD)/(AB)=(HD)/(DB)`

suy ra `AH.AB=AD^2`

c)

`@`

xét tam giác `OCD` cân tại `O(OC=OD;` cùng là bán kính của `(O))` có:

`OH bot CD` tại `H`

suy ra `H` là trung điểm `CD`

`@`

ta có `hat(KHC)=hat(KAC)(` do tứ giác `KAHC` nội tiếp `)`

lại có `hat(KAC)=hat(EDC)(` cùng chắn cung `EC;E in AK)`

suy ra `hat(KHC)=hat(EDC),` mà 2 góc đồng vị

suy ra `KH////DE` hay `KH////DF(E in DF)`

xét tam giác `CDF` có:

`KH////DF`

mà `H` trung điểm `CD(cmt)`

suy ra `K` trung điểm `FC`

`@`

xét tam giác `AFC` có:

`AK` là đường trung trực từ đỉnh hạ xuống cạnh `FC`

suy ra tam giác `AFC` cân tại `A`