Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{AEO}=\widehat{AFO}=90^o$

$\to AEOF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Vì $IE, IH$ là tiếp tuyến của $(O)$

$to OI$ là phân giác $\widehat{EOH}$

Tương tự: $OK$ là phân giác $\widehat{HOF}$

$\to \widehat{IOK}=\widehat{IOH}+\widehat{HOK}=\dfrac12\widehat{HOE}+\dfrac12\widehat{HOF}=\dfrac12\widehat{OEF}=\dfrac12(180^o-\hat A)=\hat B$

Vì $IE,IH$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to IO$ là phân giác $\widehat{EIH}$

$\to \widehat{OIB}=\widehat{OIK}$

$\to \Delta OIB\sim\Delta KIO(g.g)$

Tương tự: $\Delta KIO\sim\Delta KOC(g.g)$

$\to \Delta OIB\sim\Delta KOC$

c.Ta có:

$OB=OC=\dfrac12BC=3$

$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=4$

$OE.AB=OA.OB\to OE=\dfrac{OA.OB}{AB}=\dfrac{12}5$

$CF=BE=\sqrt{BO^2-OE^2}=\dfrac95$

Từ b $\to \dfrac{BI}{OC}=\dfrac{OB}{KC}$

$\to IB.KC=OB.OC=9$

Ta có:

$S_{AIK}$

$=S_{ABC}-S_{OIB}-S_{OIK}-S_{OKC}$

$=\dfrac12\cdot AO\cdot BC-\dfrac12\cdot OE\cdot IB-\dfrac12OH\cdot IK-\dfrac12OF\cdot KC$

$=\dfrac12\cdot 4\cdot 6-\dfrac12\cdot \dfrac{12}5\cdot(BI+IK+KC)$

$=12-\dfrac65(BI+IK+KC)$

Ta có:

$IB.KC=9$

$\to (IE+\dfrac95)(KF+\dfrac95)=9$

$\to IE.KF+\dfrac95(IE+KF)+\dfrac{81}{25}=9$

$\to IE.KF+\dfrac95IK+\dfrac{81}{25}=9$

$\to IE.KF+\dfrac95IK=9-\dfrac{81}{25}=\dfrac{144}{25}$

$\to \dfrac{144}{25}\le \dfrac14(IE+KF)^2+\dfrac95IK$

$\to \dfrac{144}{25}\le \dfrac14IK^2+\dfrac95IK$

$\to \dfrac14IK^2+\dfrac95IK-\dfrac{144}{25}\ge 0$

$\to \dfrac14(IK+\dfrac{48}5)(IK-\dfrac{12}5)\ge0$

$\to IK\ge\dfrac{12}5$

Ta có:

$BI+IK+KC$

$=(BI+KC)+IK$

$=2BE+2IK$

$=2\cdot \dfrac95+2IK$

$=\dfrac{18}5+2IK$

$\ge \dfrac{18}5+2\cdot \dfrac{12}5$

$\ge \dfrac{42}5$

$\to S_{AIK}\le 12-\dfrac{42}5\cdot\dfrac65=1.92$

Dấu = xảy ra khi $HI=HK\to IE=KF$

$\to AI=AK$

$\to IK//BC\to H=AO\cap (O)$