Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC). a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp; b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh MPK = MBC; c) Chứng minh MI.MK = MP^2; d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK .MP đạt giá trị lớn nhất. Ai đó giúp e bài 21 vs ạ

Giải thích các bước giải:

a) Xét tứ giác `AIMK` có:

`\hat{AIM}=90^0 (MI⊥AB); \hat{AKM}=90^0 (MK⊥AC)`

`=> \hat{AIM}+\hat{AKM}=90^0+90^0=180^0`

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác `AIMK` nội tiếp

Xét `(O)` có `AB, AC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `A`

`=> OB⊥AB; OC⊥AC => \hat{ABO}=\hat{ACO}=90^0`

Xét tứ giác `ABOC` có: 

`\hat{ABO}+\hat{ACO}=90^0+90^0=180^0 `

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác `ABOC` nội tiếp

b) Xét tứ giác `MPCK` có:

`\hat{MPC}=90^0 (MP⊥BC); \hat{MKC}=90^0 (MK⊥AC)`

`=> \hat{MPC}+\hat{MKC}=90^0+90^0=180^0`

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác `MPCK` nội tiếp

`=> \hat{MPK}=\hat{MCK}` (cùng nhìn cạnh `MK`)

Xét `(O)` có: `\hat{MCK}` là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung `MC`

`\hat{MBC}` là góc nội tiếp chắn cung `MC`

`=> \hat{MCK}=\hat{MBC}`

mà `\hat{MPK}=\hat{MCK} => \hat{MPK}=\hat{MBC}`

c) Xét tứ giác `MIBP` có:

`\hat{MIB}=90^0 (MI⊥AB); \hat{MPB}=90^0 (MP⊥BC)`

`=> \hat{MIB}+\hat{MPB}=90^0+90^0=180^0`

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

`=>` tứ giác `MIBP` nội tiếp

`=> \hat{IBM}=\hat{IPM}` (cùng nhìn cạnh `MI`)

       `\hat{MIP}=\hat{MBP}` (cùng nhìn cạnh `MP`) hay `\hat{MIP}=\hat{MBC}`

mà `\hat{MBC}=\hat{MPK}`

`=> \hat{MIP}=\hat{MPK}`

Xét `(O)` có: `\hat{IBM}` là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung `BM`

`\hat{MCB}` là góc nội tiếp chắn cung `BM`

`=> \hat{IBM}=\hat{MCB}`

mà `\hat{IBM}=\hat{IPM} => \hat{MCB}=\hat{IPM}` hay `\hat{MCP}=\hat{IPM}`

Tứ giác `MPCK` nội tiếp `=> \hat{MCP}=\hat{MKP}`

`=> \hat{MKP}=\hat{IPM}`

Xét `ΔMIP` và `ΔMPK` có:

`\hat{IPM}=\hat{MKP}`

`\hat{MIP}=\hat{MPK}`

`=>` $ΔMIP\backsimΔMPK$ (g.g)

`=> \frac{MI}{MP}=\frac{MP}{MK} => MI.MK=MP^2`

d) Vì `MI.MK=MP^2` nên `MI.MK.MP=MP^3`

Tích `MI.MK.MP` đạt giá trị lớn nhất khi `MP` lớn nhất

Gọi `H` là hình chiếu của `O` trên `BC => OH` cố định (Vì `O` cố định; `BC` cố định)

Gọi `D` là giao điểm của `MO` và `BC`

Ta có: `MP≤MD; OH≤OD`

`MP+OH≤MD+OD=MO => MP+OH≤R`

`=> MP≤R-OH => MP^3 ≤ (R-OH)^3`

Dấu "=" xảy ra khi `MP=R-OH`

`=> O, H, M` thẳng hàng 

`=> M` nằm chính giữa  cung nhỏ `BC`

Vậy tích `MI.MK .MP` đạt giá trị lớn nhất khi M nằm chính giữa cung nhỏ `BC`.