Đáp án + Giải thích các bước giải:

$x^2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0(a = 1; b = -2(m - 1); c = 2m - 5)$

$\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m - 1)]^2 - 4(2m - 5)$

$= 4m^2 - 8m + 4 - 8m + 20$

$= 4m^2 - 16m + 24$

$= (2m - 4)^2 + 8$ với mọi $m$

$\Rightarrow$ Phương trình có $2$ nghiệm $x_1$, $x_2$ phân biệt với mọi $m$

Áp dụng hệ thức Viet, ta có: 

$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{2(m - 1)}{1} = 2m - 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2m - 5}{1} = 2m - 5 \end {cases}$

Ta có: $x_1$, $x_2$ là độ dài của hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng $6$

$\Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 36$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 36$

$\Leftrightarrow (2m - 2)^2 - 2(2m - 5) = 36$

$\Leftrightarrow 4m^2 - 8m + 4 - 4m + 10 = 36$

$\Leftrightarrow 4m^2 - 12m - 22 = 0(a = 4; b = -12; c = -22)$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4(-22) = 496 > 0$

$\sqrt{\Delta} = 4\sqrt{31}$

$\Rightarrow$ Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt:

$m_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{12 + 4\sqrt{31}}{8} = \dfrac{3 + \sqrt{31}}{2}$

$m_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{12 - 4\sqrt{31}}{8} = \dfrac{3 - \sqrt{31}}{2}$

Vậy với $m \in$`{(3 + sqrt(31))/2; (3 - sqrt(31))/2}` thì phương trình có $2$ nghiệm $x_1$, $x_2$ sao cho chúng là độ dài của $2$ cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng $6$