Đáp án:

Có `hat(PAI)=hat(PHI)=90^o`

`->APHI` nội tiếp đường tròn đường kính `PI`

`->hat(APH)+hat(AIH)=180^o` và `hat(HPI)=hat(HAI)`

mà `hat(AIH)+hat(HIB)=180^o`

`->hat(APH)=hat(HIB)`

Do `PA` là tiếp tuyến

`->hat(PAH)=hat(HBA)`

`->DeltaPAH`$\backsim$`DeltaIBH(g.g)`

`->hat(IHB)=hat(AHP)`

`->hat(IHB)+hat(IHA)=hat(AHP)+hat(IHA)`

`->hat(AHB)=hat(PHI)=90^o` 

`->DeltaPQI`$\backsim$`DeltaABH(g.g)`

`->hat(PQI)=hat(ABH)`

Lại có `MINH` nội tiếp

`->hat(HNM)=hat(HIM)=hat(HQI)=hat(PQI)`

`->hat(HNM)=hat(ABH)(` cùng `=hat(PQI))` 

mà `2` góc ở vị trí đồng vị

`->`$MN//AB$

`3)` Do `DeltaAPI`$\backsim$`DeltaBIQ`

nên `(AP)/(BI)=(AI)/(BQ)` 

`->AP.BQ=BI.AI` nên `AP.BQ` không đổi

Có `S_(IPQ)=(PI.IQ)/2`

`=(root()((AP^2+AI^2)(BI^2+BQ^2)))/2` 

`>=root()(AP.AI.BI.BQ)=AI.BI=(3R^2)/16` 

Dấu "`=`" xảy ra khi `AP=AI=R/4` và `BI=BQ=(3R)/4`